แก้โจทย์ {l}{4y-5x=-70}{x=-4y-34}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y - 5 x = - 70 } \\ { x = - 4 y - 34 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=6$$

$$y=-10$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 4y ไปทั้งสองด้าน

$$x+4y=-34$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4y-5x=-70$$

เพิ่ม 5x ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4y=5x-70$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$y=\frac{1}{4}\left(5x-70\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -70+5x

$$y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}$$

ทดแทน -\frac{35}{2}+\frac{5x}{4} สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 4y+x=-34

$$4\left(\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}\right)+x=-34$$

คูณ 4 ด้วย -\frac{35}{2}+\frac{5x}{4}

$$5x-70+x=-34$$

เพิ่ม 5x ไปยัง x

$$6x-70=-34$$

เพิ่ม 70 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=36$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=6$$

ทดแทน 6 สำหรับ x ใน y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=\frac{5}{4}\times 6-\frac{35}{2}$$

คูณ \frac{5}{4} ด้วย 6

$$y=\frac{15-35}{2}$$

เพิ่ม -\frac{35}{2} ไปยัง \frac{15}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$y=-10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-10,x=6$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 4y ไปทั้งสองด้าน

$$x+4y=-34$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}&\frac{5}{24}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\left(-70\right)+\frac{5}{24}\left(-34\right)\\-\frac{1}{6}\left(-70\right)+\frac{1}{6}\left(-34\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\6\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=-10,x=6$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 4y ไปทั้งสองด้าน

$$x+4y=-34$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

ลบ 4y+x=-34 จาก 4y-5x=-70 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4y-4y-5x-x=-70+34$$

เพิ่ม 4y ไปยัง -4y ตัดพจน์ 4y และ -4y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-5x-x=-70+34$$

เพิ่ม -5x ไปยัง -x

$$-6x=-70+34$$

เพิ่ม -70 ไปยัง 34

$$-6x=-36$$

หารทั้งสองข้างด้วย -6

$$x=6$$

ทดแทน 6 สำหรับ x ใน 4y+x=-34 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$4y+6=-34$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4y=-40$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$y=-10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-10,x=6$$