แก้โจทย์ {l}{4x-3y-10=0}{3x+4y+5=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 3 x + 4 y + 5 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1$$

$$y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-3y-10=0$$

เพิ่ม 10 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x-3y=10$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=3y+10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+10\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย 3y+10

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

ทดแทน \frac{3y}{4}+\frac{5}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+4y+5=0

$$3\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y+5=0$$

คูณ 3 ด้วย \frac{3y}{4}+\frac{5}{2}

$$\frac{9}{4}y+\frac{15}{2}+4y+5=0$$

เพิ่ม \frac{9y}{4} ไปยัง 4y

$$\frac{25}{4}y+\frac{15}{2}+5=0$$

เพิ่ม \frac{15}{2} ไปยัง 5

$$\frac{25}{4}y+\frac{25}{2}=0$$

ลบ \frac{25}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{25}{4}y=-\frac{25}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{25}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{5}{2}$$

คูณ \frac{3}{4} ด้วย -2

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

เพิ่ม \frac{5}{2} ไปยัง -\frac{3}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=-2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}&\frac{4}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\\-\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10+\frac{3}{25}\left(-5\right)\\-\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1,y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

เพื่อทำให้ 4x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$3\times 4x+3\left(-3\right)y+3\left(-10\right)=0,4\times 3x+4\times 4y+4\times 5=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$12x-9y-30=0,12x+16y+20=0$$

ลบ 12x+16y+20=0 จาก 12x-9y-30=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$12x-12x-9y-16y-30-20=0$$

เพิ่ม 12x ไปยัง -12x ตัดพจน์ 12x และ -12x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-9y-16y-30-20=0$$

เพิ่ม -9y ไปยัง -16y

$$-25y-30-20=0$$

เพิ่ม -30 ไปยัง -20

$$-25y-50=0$$

เพิ่ม 50 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-25y=50$$

หารทั้งสองข้างด้วย -25

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน 3x+4y+5=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+4\left(-2\right)+5=0$$

คูณ 4 ด้วย -2

$$3x-8+5=0$$

เพิ่ม -8 ไปยัง 5

$$3x-3=0$$

เพิ่ม 3 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=-2$$