แก้โจทย์ {l}{4x=3y}{y+3=x}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x = 3 y } \\ { y + 3 = x } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-9$$

$$y=-12$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$4x-3y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$y+3-x=0$$

ลบ 3 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$y-x=-3$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x-3y=0,-x+y=-3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-3y=0$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=3y$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\times 3y$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย 3y

$$x=\frac{3}{4}y$$

ทดแทน \frac{3y}{4} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -x+y=-3

$$-\frac{3}{4}y+y=-3$$

เพิ่ม -\frac{3y}{4} ไปยัง y

$$\frac{1}{4}y=-3$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 4

$$y=-12$$

ทดแทน -12 สำหรับ y ใน x=\frac{3}{4}y เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{3}{4}\left(-12\right)$$

คูณ \frac{3}{4} ด้วย -12

$$x=-9$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-9,y=-12$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$4x-3y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$y+3-x=0$$

ลบ 3 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$y-x=-3$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x-3y=0,-x+y=-3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-3\right)\\4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-9,y=-12$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$4x-3y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$y+3-x=0$$

ลบ 3 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$y-x=-3$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x-3y=0,-x+y=-3$$

เพื่อทำให้ 4x และ -x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$-4x-\left(-3y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-4x+3y=0,-4x+4y=-12$$

ลบ -4x+4y=-12 จาก -4x+3y=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-4x+4x+3y-4y=12$$

เพิ่ม -4x ไปยัง 4x ตัดพจน์ -4x และ 4x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3y-4y=12$$

เพิ่ม 3y ไปยัง -4y

$$-y=12$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=-12$$

ทดแทน -12 สำหรับ y ใน -x+y=-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-x-12=-3$$

เพิ่ม 12 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=9$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=-9$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-9,y=-12$$