แก้โจทย์ {l}{4x+y=4}{-3x-6y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 4 } \\ { - 3 x - 6 y = 18 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=2$$

$$y=-4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x+y=4$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-y+4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+4\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -y+4

$$x=-\frac{1}{4}y+1$$

ทดแทน -\frac{y}{4}+1 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -3x-6y=18

$$-3\left(-\frac{1}{4}y+1\right)-6y=18$$

คูณ -3 ด้วย -\frac{y}{4}+1

$$\frac{3}{4}y-3-6y=18$$

เพิ่ม \frac{3y}{4} ไปยัง -6y

$$-\frac{21}{4}y-3=18$$

เพิ่ม 3 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{21}{4}y=21$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{21}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-4$$

ทดแทน -4 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{4}y+1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{4}\left(-4\right)+1$$

คูณ -\frac{1}{4} ด้วย -4

$$x=1+1$$

เพิ่ม 1 ไปยัง 1

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=-4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}&-\frac{1}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{21}\\-\frac{1}{7}&-\frac{4}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 4+\frac{1}{21}\times 18\\-\frac{1}{7}\times 4-\frac{4}{21}\times 18\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=2,y=-4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

เพื่อทำให้ 4x และ -3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$-3\times 4x-3y=-3\times 4,4\left(-3\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 18$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-12x-3y=-12,-12x-24y=72$$

ลบ -12x-24y=72 จาก -12x-3y=-12 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-12x+12x-3y+24y=-12-72$$

เพิ่ม -12x ไปยัง 12x ตัดพจน์ -12x และ 12x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-3y+24y=-12-72$$

เพิ่ม -3y ไปยัง 24y

$$21y=-12-72$$

เพิ่ม -12 ไปยัง -72

$$21y=-84$$

หารทั้งสองข้างด้วย 21

$$y=-4$$

ทดแทน -4 สำหรับ y ใน -3x-6y=18 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-3x-6\left(-4\right)=18$$

คูณ -6 ด้วย -4

$$-3x+24=18$$

ลบ 24 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-3x=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=-4$$