แก้โจทย์ {l}{4x+y=15}{5y+19x=30}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 15 } \\ { 5 y + 19 x = 30 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=45$$

$$y=-165$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x+y=15$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-y+15$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+15\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -y+15

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

ทดแทน \frac{-y+15}{4} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 19x+5y=30

$$19\left(-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)+5y=30$$

คูณ 19 ด้วย \frac{-y+15}{4}

$$-\frac{19}{4}y+\frac{285}{4}+5y=30$$

เพิ่ม -\frac{19y}{4} ไปยัง 5y

$$\frac{1}{4}y+\frac{285}{4}=30$$

ลบ \frac{285}{4} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{4}y=-\frac{165}{4}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 4

$$y=-165$$

ทดแทน -165 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{4}\left(-165\right)+\frac{15}{4}$$

คูณ -\frac{1}{4} ด้วย -165

$$x=\frac{165+15}{4}$$

เพิ่ม \frac{15}{4} ไปยัง \frac{165}{4} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=45$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=45,y=-165$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-19}&-\frac{1}{4\times 5-19}\\-\frac{19}{4\times 5-19}&\frac{4}{4\times 5-19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 15-30\\-19\times 15+4\times 30\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-165\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=45,y=-165$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

เพื่อทำให้ 4x และ 19x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 19 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$19\times 4x+19y=19\times 15,4\times 19x+4\times 5y=4\times 30$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$76x+19y=285,76x+20y=120$$

ลบ 76x+20y=120 จาก 76x+19y=285 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$76x-76x+19y-20y=285-120$$

เพิ่ม 76x ไปยัง -76x ตัดพจน์ 76x และ -76x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$19y-20y=285-120$$

เพิ่ม 19y ไปยัง -20y

$$-y=285-120$$

เพิ่ม 285 ไปยัง -120

$$-y=165$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=-165$$

ทดแทน -165 สำหรับ y ใน 19x+5y=30 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$19x+5\left(-165\right)=30$$

คูณ 5 ด้วย -165

$$19x-825=30$$

เพิ่ม 825 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$19x=855$$

หารทั้งสองข้างด้วย 19

$$x=45$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=45,y=-165$$