แก้โจทย์ {l}{4x+9y=28}{-4x-y=-28}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 9 y = 28 } \\ { - 4 x - y = - 28 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=7$$

$$y=0$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x+9y=28,-4x-y=-28$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x+9y=28$$

ลบ 9y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-9y+28$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(-9y+28\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -9y+28

$$x=-\frac{9}{4}y+7$$

ทดแทน -\frac{9y}{4}+7 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -4x-y=-28

$$-4\left(-\frac{9}{4}y+7\right)-y=-28$$

คูณ -4 ด้วย -\frac{9y}{4}+7

$$9y-28-y=-28$$

เพิ่ม 9y ไปยัง -y

$$8y-28=-28$$

เพิ่ม 28 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$8y=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$y=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ y ใน x=-\frac{9}{4}y+7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=7$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=7,y=0$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x+9y=28,-4x-y=-28$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}&-\frac{9}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{32}&-\frac{9}{32}\\\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{32}\times 28-\frac{9}{32}\left(-28\right)\\\frac{1}{8}\times 28+\frac{1}{8}\left(-28\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\0\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=7,y=0$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x+9y=28,-4x-y=-28$$

เพื่อทำให้ 4x และ -4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$-4\times 4x-4\times 9y=-4\times 28,4\left(-4\right)x+4\left(-1\right)y=4\left(-28\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-16x-36y=-112,-16x-4y=-112$$

ลบ -16x-4y=-112 จาก -16x-36y=-112 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-16x+16x-36y+4y=-112+112$$

เพิ่ม -16x ไปยัง 16x ตัดพจน์ -16x และ 16x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-36y+4y=-112+112$$

เพิ่ม -36y ไปยัง 4y

$$-32y=-112+112$$

เพิ่ม -112 ไปยัง 112

$$-32y=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย -32

$$y=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ y ใน -4x-y=-28 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-4x=-28$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$x=7$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=7,y=0$$