แก้โจทย์ {l}{4x+7y=2}{5x+6y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 7 y = 2 } \\ { 5 x + 6 y = 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11} \approx 1.454545455$$

$$y=-\frac{6}{11}\approx -0.545454545$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x+7y=2$$

ลบ 7y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-7y+2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(-7y+2\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -7y+2

$$x=-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}$$

ทดแทน -\frac{7y}{4}+\frac{1}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x+6y=4

$$5\left(-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}\right)+6y=4$$

คูณ 5 ด้วย -\frac{7y}{4}+\frac{1}{2}

$$-\frac{35}{4}y+\frac{5}{2}+6y=4$$

เพิ่ม -\frac{35y}{4} ไปยัง 6y

$$-\frac{11}{4}y+\frac{5}{2}=4$$

ลบ \frac{5}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{11}{4}y=\frac{3}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{11}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{6}{11}$$

ทดแทน -\frac{6}{11} สำหรับ y ใน x=-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{7}{4}\left(-\frac{6}{11}\right)+\frac{1}{2}$$

คูณ -\frac{7}{4} ครั้ง -\frac{6}{11} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{21}{22}+\frac{1}{2}$$

เพิ่ม \frac{1}{2} ไปยัง \frac{21}{22} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{16}{11}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-7\times 5}&-\frac{7}{4\times 6-7\times 5}\\-\frac{5}{4\times 6-7\times 5}&\frac{4}{4\times 6-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{5}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{11}\times 2+\frac{7}{11}\times 4\\\frac{5}{11}\times 2-\frac{4}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{11}\\-\frac{6}{11}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

เพื่อทำให้ 4x และ 5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$5\times 4x+5\times 7y=5\times 2,4\times 5x+4\times 6y=4\times 4$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$20x+35y=10,20x+24y=16$$

ลบ 20x+24y=16 จาก 20x+35y=10 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$20x-20x+35y-24y=10-16$$

เพิ่ม 20x ไปยัง -20x ตัดพจน์ 20x และ -20x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$35y-24y=10-16$$

เพิ่ม 35y ไปยัง -24y

$$11y=10-16$$

เพิ่ม 10 ไปยัง -16

$$11y=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 11

$$y=-\frac{6}{11}$$

ทดแทน -\frac{6}{11} สำหรับ y ใน 5x+6y=4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x+6\left(-\frac{6}{11}\right)=4$$

คูณ 6 ด้วย -\frac{6}{11}

$$5x-\frac{36}{11}=4$$

เพิ่ม \frac{36}{11} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=\frac{80}{11}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{16}{11}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$