แก้โจทย์ {l}{4x+5y=7}{3x-2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 7 } \\ { 3 x - 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{59}{23} = 2\frac{13}{23} \approx 2.565217391$$

$$y=-\frac{15}{23}\approx -0.652173913$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x+5y=7,3x-2y=9$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x+5y=7$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-5y+7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+7\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -5y+7

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}$$

ทดแทน \frac{-5y+7}{4} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x-2y=9

$$3\left(-\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}\right)-2y=9$$

คูณ 3 ด้วย \frac{-5y+7}{4}

$$-\frac{15}{4}y+\frac{21}{4}-2y=9$$

เพิ่ม -\frac{15y}{4} ไปยัง -2y

$$-\frac{23}{4}y+\frac{21}{4}=9$$

ลบ \frac{21}{4} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{23}{4}y=\frac{15}{4}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{23}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{15}{23}$$

ทดแทน -\frac{15}{23} สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{4}y+\frac{7}{4} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{4}\left(-\frac{15}{23}\right)+\frac{7}{4}$$

คูณ -\frac{5}{4} ครั้ง -\frac{15}{23} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{75}{92}+\frac{7}{4}$$

เพิ่ม \frac{7}{4} ไปยัง \frac{75}{92} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{59}{23}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{59}{23},y=-\frac{15}{23}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x+5y=7,3x-2y=9$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-5\times 3}&-\frac{5}{4\left(-2\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-2\right)-5\times 3}&\frac{4}{4\left(-2\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\\\frac{3}{23}&-\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}\times 7+\frac{5}{23}\times 9\\\frac{3}{23}\times 7-\frac{4}{23}\times 9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{59}{23}\\-\frac{15}{23}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{59}{23},y=-\frac{15}{23}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x+5y=7,3x-2y=9$$

เพื่อทำให้ 4x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$3\times 4x+3\times 5y=3\times 7,4\times 3x+4\left(-2\right)y=4\times 9$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$12x+15y=21,12x-8y=36$$

ลบ 12x-8y=36 จาก 12x+15y=21 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$12x-12x+15y+8y=21-36$$

เพิ่ม 12x ไปยัง -12x ตัดพจน์ 12x และ -12x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$15y+8y=21-36$$

เพิ่ม 15y ไปยัง 8y

$$23y=21-36$$

เพิ่ม 21 ไปยัง -36

$$23y=-15$$

หารทั้งสองข้างด้วย 23

$$y=-\frac{15}{23}$$

ทดแทน -\frac{15}{23} สำหรับ y ใน 3x-2y=9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x-2\left(-\frac{15}{23}\right)=9$$

คูณ -2 ด้วย -\frac{15}{23}

$$3x+\frac{30}{23}=9$$

ลบ \frac{30}{23} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=\frac{177}{23}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{59}{23}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{59}{23},y=-\frac{15}{23}$$