แก้โจทย์ {l}{4x+5y=1}{5x-7y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 1 } \\ { 5 x - 7 y = 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{12}{53}\approx 0.226415094$$

$$y=\frac{1}{53}\approx 0.018867925$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x+5y=1$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-5y+1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+1\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -5y+1

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}$$

ทดแทน \frac{-5y+1}{4} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x-7y=1

$$5\left(-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}\right)-7y=1$$

คูณ 5 ด้วย \frac{-5y+1}{4}

$$-\frac{25}{4}y+\frac{5}{4}-7y=1$$

เพิ่ม -\frac{25y}{4} ไปยัง -7y

$$-\frac{53}{4}y+\frac{5}{4}=1$$

ลบ \frac{5}{4} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{53}{4}y=-\frac{1}{4}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{53}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{1}{53}$$

ทดแทน \frac{1}{53} สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{1}{53}+\frac{1}{4}$$

คูณ -\frac{5}{4} ครั้ง \frac{1}{53} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{5}{212}+\frac{1}{4}$$

เพิ่ม \frac{1}{4} ไปยัง -\frac{5}{212} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{12}{53}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4\left(-7\right)-5\times 5}&-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}\\-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}&\frac{4}{4\left(-7\right)-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}&\frac{5}{53}\\\frac{5}{53}&-\frac{4}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7+5}{53}\\\frac{5-4}{53}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{53}\\\frac{1}{53}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

เพื่อทำให้ 4x และ 5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$5\times 4x+5\times 5y=5,4\times 5x+4\left(-7\right)y=4$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$20x+25y=5,20x-28y=4$$

ลบ 20x-28y=4 จาก 20x+25y=5 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$20x-20x+25y+28y=5-4$$

เพิ่ม 20x ไปยัง -20x ตัดพจน์ 20x และ -20x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$25y+28y=5-4$$

เพิ่ม 25y ไปยัง 28y

$$53y=5-4$$

เพิ่ม 5 ไปยัง -4

$$53y=1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 53

$$y=\frac{1}{53}$$

ทดแทน \frac{1}{53} สำหรับ y ใน 5x-7y=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x-7\times \frac{1}{53}=1$$

คูณ -7 ด้วย \frac{1}{53}

$$5x-\frac{7}{53}=1$$

เพิ่ม \frac{7}{53} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=\frac{60}{53}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{12}{53}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$