แก้โจทย์ {l}{4x+4y=280}{4x+1y=124}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 4 y = 280 } \\ { 4 x + 1 y = 124 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=18$$

$$y=52$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x+4y=280,4x+y=124$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x+4y=280$$

ลบ 4y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-4y+280$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(-4y+280\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -4y+280

$$x=-y+70$$

ทดแทน -y+70 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x+y=124

$$4\left(-y+70\right)+y=124$$

คูณ 4 ด้วย -y+70

$$-4y+280+y=124$$

เพิ่ม -4y ไปยัง y

$$-3y+280=124$$

ลบ 280 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-3y=-156$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=52$$

ทดแทน 52 สำหรับ y ใน x=-y+70 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-52+70$$

เพิ่ม 70 ไปยัง -52

$$x=18$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=18,y=52$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x+4y=280,4x+y=124$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-4\times 4}&-\frac{4}{4-4\times 4}\\-\frac{4}{4-4\times 4}&\frac{4}{4-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 280+\frac{1}{3}\times 124\\\frac{1}{3}\times 280-\frac{1}{3}\times 124\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\52\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=18,y=52$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x+4y=280,4x+y=124$$

ลบ 4x+y=124 จาก 4x+4y=280 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-4x+4y-y=280-124$$

เพิ่ม 4x ไปยัง -4x ตัดพจน์ 4x และ -4x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4y-y=280-124$$

เพิ่ม 4y ไปยัง -y

$$3y=280-124$$

เพิ่ม 280 ไปยัง -124

$$3y=156$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=52$$

ทดแทน 52 สำหรับ y ใน 4x+y=124 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x+52=124$$

ลบ 52 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=72$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=18$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=18,y=52$$