แก้โจทย์ {l}{4x+3y=0}{3y+3x=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 0 } \\ { 3 y + 3 x = 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-1$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x+3y=0,3x+3y=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x+3y=0$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-3y$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(-3\right)y$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -3y

$$x=-\frac{3}{4}y$$

ทดแทน -\frac{3y}{4} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+3y=1

$$3\left(-\frac{3}{4}\right)y+3y=1$$

คูณ 3 ด้วย -\frac{3y}{4}

$$-\frac{9}{4}y+3y=1$$

เพิ่ม -\frac{9y}{4} ไปยัง 3y

$$\frac{3}{4}y=1$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{3}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{4}{3}$$

ทดแทน \frac{4}{3} สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{4}y เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{4}{3}$$

คูณ -\frac{3}{4} ครั้ง \frac{4}{3} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-1,y=\frac{4}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x+3y=0,3x+3y=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-3\times 3}&-\frac{3}{4\times 3-3\times 3}\\-\frac{3}{4\times 3-3\times 3}&\frac{4}{4\times 3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-1,y=\frac{4}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x+3y=0,3x+3y=1$$

ลบ 3x+3y=1 จาก 4x+3y=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-3x+3y-3y=-1$$

เพิ่ม 3y ไปยัง -3y ตัดพจน์ 3y และ -3y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4x-3x=-1$$

เพิ่ม 4x ไปยัง -3x

$$x=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ x ใน 3x+3y=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$3\left(-1\right)+3y=1$$

คูณ 3 ด้วย -1

$$-3+3y=1$$

เพิ่ม 3 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3y=4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=\frac{4}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-1,y=\frac{4}{3}$$