แก้โจทย์ {l}{4x+2y=18}{-3x-6y=27}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 18 } \\ { - 3 x - 6 y = 27 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=9$$

$$y=-9$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x+2y=18$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-2y+18$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+18\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -2y+18

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}$$

ทดแทน \frac{-y+9}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -3x-6y=27

$$-3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}\right)-6y=27$$

คูณ -3 ด้วย \frac{-y+9}{2}

$$\frac{3}{2}y-\frac{27}{2}-6y=27$$

เพิ่ม \frac{3y}{2} ไปยัง -6y

$$-\frac{9}{2}y-\frac{27}{2}=27$$

เพิ่ม \frac{27}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{9}{2}y=\frac{81}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{9}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-9$$

ทดแทน -9 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{9}{2}$$

คูณ -\frac{1}{2} ด้วย -9

$$x=\frac{9+9}{2}$$

เพิ่ม \frac{9}{2} ไปยัง \frac{9}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=9$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=9,y=-9$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{6}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 18+\frac{1}{9}\times 27\\-\frac{1}{6}\times 18-\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-9\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=9,y=-9$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

เพื่อทำให้ 4x และ -3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$-3\times 4x-3\times 2y=-3\times 18,4\left(-3\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 27$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-12x-6y=-54,-12x-24y=108$$

ลบ -12x-24y=108 จาก -12x-6y=-54 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-12x+12x-6y+24y=-54-108$$

เพิ่ม -12x ไปยัง 12x ตัดพจน์ -12x และ 12x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-6y+24y=-54-108$$

เพิ่ม -6y ไปยัง 24y

$$18y=-54-108$$

เพิ่ม -54 ไปยัง -108

$$18y=-162$$

หารทั้งสองข้างด้วย 18

$$y=-9$$

ทดแทน -9 สำหรับ y ใน -3x-6y=27 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-3x-6\left(-9\right)=27$$

คูณ -6 ด้วย -9

$$-3x+54=27$$

ลบ 54 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-3x=-27$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$x=9$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=9,y=-9$$