แก้โจทย์ {l}{4x+2y=12}{7x+18y=19}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 12 } \\ { 7 x + 18 y = 19 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{89}{29} = 3\frac{2}{29} \approx 3.068965517$$

$$y=-\frac{4}{29}\approx -0.137931034$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x+2y=12$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-2y+12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+12\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -2y+12

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

ทดแทน -\frac{y}{2}+3 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 7x+18y=19

$$7\left(-\frac{1}{2}y+3\right)+18y=19$$

คูณ 7 ด้วย -\frac{y}{2}+3

$$-\frac{7}{2}y+21+18y=19$$

เพิ่ม -\frac{7y}{2} ไปยัง 18y

$$\frac{29}{2}y+21=19$$

ลบ 21 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{29}{2}y=-2$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{29}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{4}{29}$$

ทดแทน -\frac{4}{29} สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{2}y+3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{4}{29}\right)+3$$

คูณ -\frac{1}{2} ครั้ง -\frac{4}{29} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{2}{29}+3$$

เพิ่ม 3 ไปยัง \frac{2}{29}

$$x=\frac{89}{29}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{4\times 18-2\times 7}&-\frac{2}{4\times 18-2\times 7}\\-\frac{7}{4\times 18-2\times 7}&\frac{4}{4\times 18-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}&-\frac{1}{29}\\-\frac{7}{58}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}\times 12-\frac{1}{29}\times 19\\-\frac{7}{58}\times 12+\frac{2}{29}\times 19\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{89}{29}\\-\frac{4}{29}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

เพื่อทำให้ 4x และ 7x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 7 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$7\times 4x+7\times 2y=7\times 12,4\times 7x+4\times 18y=4\times 19$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$28x+14y=84,28x+72y=76$$

ลบ 28x+72y=76 จาก 28x+14y=84 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$28x-28x+14y-72y=84-76$$

เพิ่ม 28x ไปยัง -28x ตัดพจน์ 28x และ -28x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$14y-72y=84-76$$

เพิ่ม 14y ไปยัง -72y

$$-58y=84-76$$

เพิ่ม 84 ไปยัง -76

$$-58y=8$$

หารทั้งสองข้างด้วย -58

$$y=-\frac{4}{29}$$

ทดแทน -\frac{4}{29} สำหรับ y ใน 7x+18y=19 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$7x+18\left(-\frac{4}{29}\right)=19$$

คูณ 18 ด้วย -\frac{4}{29}

$$7x-\frac{72}{29}=19$$

เพิ่ม \frac{72}{29} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=\frac{623}{29}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=\frac{89}{29}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$