แก้โจทย์ {l}{4b+4c=-5}{4b+5c=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 b + 4 c = - 5 } \\ { 4 b + 5 c = - 6 } \end{array} \right.$$

หาค่า b, c

$$b=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$c=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4b+4c=-5,4b+5c=-6$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ b โดยแยก b ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4b+4c=-5$$

ลบ 4c จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4b=-4c-5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$b=\frac{1}{4}\left(-4c-5\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -4c-5

$$b=-c-\frac{5}{4}$$

ทดแทน -c-\frac{5}{4} สำหรับ b ในอีกสมการหนึ่ง 4b+5c=-6

$$4\left(-c-\frac{5}{4}\right)+5c=-6$$

คูณ 4 ด้วย -c-\frac{5}{4}

$$-4c-5+5c=-6$$

เพิ่ม -4c ไปยัง 5c

$$c-5=-6$$

เพิ่ม 5 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$c=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ c ใน b=-c-\frac{5}{4} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า b โดยตรงได้

$$b=-\left(-1\right)-\frac{5}{4}$$

คูณ -1 ด้วย -1

$$b=1-\frac{5}{4}$$

เพิ่ม -\frac{5}{4} ไปยัง 1

$$b=-\frac{1}{4}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$b=-\frac{1}{4},c=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4b+4c=-5,4b+5c=-6$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-4\times 4}&-\frac{4}{4\times 5-4\times 4}\\-\frac{4}{4\times 5-4\times 4}&\frac{4}{4\times 5-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\left(-5\right)-\left(-6\right)\\-\left(-5\right)-6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ b และ c

$$b=-\frac{1}{4},c=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4b+4c=-5,4b+5c=-6$$

ลบ 4b+5c=-6 จาก 4b+4c=-5 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4b-4b+4c-5c=-5+6$$

เพิ่ม 4b ไปยัง -4b ตัดพจน์ 4b และ -4b ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4c-5c=-5+6$$

เพิ่ม 4c ไปยัง -5c

$$-c=-5+6$$

เพิ่ม -5 ไปยัง 6

$$-c=1$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$c=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ c ใน 4b+5c=-6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า b โดยตรงได้

$$4b+5\left(-1\right)=-6$$

คูณ 5 ด้วย -1

$$4b-5=-6$$

เพิ่ม 5 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4b=-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$b=-\frac{1}{4}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$b=-\frac{1}{4},c=-1$$