แก้โจทย์ {l}{4a_{1}+6d=3}{3a_{1}+21d=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a _ { 1 } + 6 d = 3 } \\ { 3 a _ { 1 } + 21 d = 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า a_1, d

$$a_{1}=\frac{13}{22}\approx 0.590909091$$

$$d=\frac{7}{66}\approx 0.106060606$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ a_{1} โดยแยก a_{1} ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4a_{1}+6d=3$$

ลบ 6d จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4a_{1}=-6d+3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$a_{1}=\frac{1}{4}\left(-6d+3\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -6d+3

$$a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}$$

ทดแทน -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4} สำหรับ a_{1} ในอีกสมการหนึ่ง 3a_{1}+21d=4

$$3\left(-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}\right)+21d=4$$

คูณ 3 ด้วย -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4}

$$-\frac{9}{2}d+\frac{9}{4}+21d=4$$

เพิ่ม -\frac{9d}{2} ไปยัง 21d

$$\frac{33}{2}d+\frac{9}{4}=4$$

ลบ \frac{9}{4} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{33}{2}d=\frac{7}{4}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{33}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$d=\frac{7}{66}$$

ทดแทน \frac{7}{66} สำหรับ d ใน a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a_{1} โดยตรงได้

$$a_{1}=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{66}+\frac{3}{4}$$

คูณ -\frac{3}{2} ครั้ง \frac{7}{66} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$a_{1}=-\frac{7}{44}+\frac{3}{4}$$

เพิ่ม \frac{3}{4} ไปยัง -\frac{7}{44} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4\times 21-6\times 3}&-\frac{6}{4\times 21-6\times 3}\\-\frac{3}{4\times 21-6\times 3}&\frac{4}{4\times 21-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}&-\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}\times 3-\frac{1}{11}\times 4\\-\frac{1}{22}\times 3+\frac{2}{33}\times 4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{22}\\\frac{7}{66}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a_{1} และ d

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

เพื่อทำให้ 4a_{1} และ 3a_{1} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$3\times 4a_{1}+3\times 6d=3\times 3,4\times 3a_{1}+4\times 21d=4\times 4$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$12a_{1}+18d=9,12a_{1}+84d=16$$

ลบ 12a_{1}+84d=16 จาก 12a_{1}+18d=9 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$12a_{1}-12a_{1}+18d-84d=9-16$$

เพิ่ม 12a_{1} ไปยัง -12a_{1} ตัดพจน์ 12a_{1} และ -12a_{1} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$18d-84d=9-16$$

เพิ่ม 18d ไปยัง -84d

$$-66d=9-16$$

เพิ่ม 9 ไปยัง -16

$$-66d=-7$$

หารทั้งสองข้างด้วย -66

$$d=\frac{7}{66}$$

ทดแทน \frac{7}{66} สำหรับ d ใน 3a_{1}+21d=4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a_{1} โดยตรงได้

$$3a_{1}+21\times \frac{7}{66}=4$$

คูณ 21 ด้วย \frac{7}{66}

$$3a_{1}+\frac{49}{22}=4$$

ลบ \frac{49}{22} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3a_{1}=\frac{39}{22}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$