แก้โจทย์ {l}{4a-2b+4=0}{64a+8b+4=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a - 2 b + 4 = 0 } \\ { 64 a + 8 b + 4 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า a, b

$$a=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$b = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4a-2b+4=0,64a+8b+4=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ a โดยแยก a ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4a-2b+4=0$$

ลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4a-2b=-4$$

เพิ่ม 2b ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4a=2b-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$a=\frac{1}{4}\left(2b-4\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -4+2b

$$a=\frac{1}{2}b-1$$

ทดแทน \frac{b}{2}-1 สำหรับ a ในอีกสมการหนึ่ง 64a+8b+4=0

$$64\left(\frac{1}{2}b-1\right)+8b+4=0$$

คูณ 64 ด้วย \frac{b}{2}-1

$$32b-64+8b+4=0$$

เพิ่ม 32b ไปยัง 8b

$$40b-64+4=0$$

เพิ่ม -64 ไปยัง 4

$$40b-60=0$$

เพิ่ม 60 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$40b=60$$

หารทั้งสองข้างด้วย 40

$$b=\frac{3}{2}$$

ทดแทน \frac{3}{2} สำหรับ b ใน a=\frac{1}{2}b-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a=\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}-1$$

คูณ \frac{1}{2} ครั้ง \frac{3}{2} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$a=\frac{3}{4}-1$$

เพิ่ม -1 ไปยัง \frac{3}{4}

$$a=-\frac{1}{4}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=-\frac{1}{4},b=\frac{3}{2}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4a-2b+4=0,64a+8b+4=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\64&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&-2\\64&8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\64&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\64&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\64&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\64&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\64&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{4\times 8-\left(-2\times 64\right)}&-\frac{-2}{4\times 8-\left(-2\times 64\right)}\\-\frac{64}{4\times 8-\left(-2\times 64\right)}&\frac{4}{4\times 8-\left(-2\times 64\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&\frac{1}{80}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\left(-4\right)+\frac{1}{80}\left(-4\right)\\-\frac{2}{5}\left(-4\right)+\frac{1}{40}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a และ b

$$a=-\frac{1}{4},b=\frac{3}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4a-2b+4=0,64a+8b+4=0$$

เพื่อทำให้ 4a และ 64a เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 64 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$64\times 4a+64\left(-2\right)b+64\times 4=0,4\times 64a+4\times 8b+4\times 4=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$256a-128b+256=0,256a+32b+16=0$$

ลบ 256a+32b+16=0 จาก 256a-128b+256=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$256a-256a-128b-32b+256-16=0$$

เพิ่ม 256a ไปยัง -256a ตัดพจน์ 256a และ -256a ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-128b-32b+256-16=0$$

เพิ่ม -128b ไปยัง -32b

$$-160b+256-16=0$$

เพิ่ม 256 ไปยัง -16

$$-160b+240=0$$

ลบ 240 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-160b=-240$$

หารทั้งสองข้างด้วย -160

$$b=\frac{3}{2}$$

ทดแทน \frac{3}{2} สำหรับ b ใน 64a+8b+4=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$64a+8\times \frac{3}{2}+4=0$$

คูณ 8 ด้วย \frac{3}{2}

$$64a+12+4=0$$

เพิ่ม 12 ไปยัง 4

$$64a+16=0$$

ลบ 16 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$64a=-16$$

หารทั้งสองข้างด้วย 64

$$a=-\frac{1}{4}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=-\frac{1}{4},b=\frac{3}{2}$$