แก้โจทย์ {l}{4a+5v=28}{6a+3v=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a + 5 v = 28 } \\ { 6 a + 3 v = 24 } \end{array} \right.$$

หาค่า a, v

$$a=2$$

$$v=4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4a+5v=28,6a+3v=24$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ a โดยแยก a ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4a+5v=28$$

ลบ 5v จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4a=-5v+28$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$a=\frac{1}{4}\left(-5v+28\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -5v+28

$$a=-\frac{5}{4}v+7$$

ทดแทน -\frac{5v}{4}+7 สำหรับ a ในอีกสมการหนึ่ง 6a+3v=24

$$6\left(-\frac{5}{4}v+7\right)+3v=24$$

คูณ 6 ด้วย -\frac{5v}{4}+7

$$-\frac{15}{2}v+42+3v=24$$

เพิ่ม -\frac{15v}{2} ไปยัง 3v

$$-\frac{9}{2}v+42=24$$

ลบ 42 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{9}{2}v=-18$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{9}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$v=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ v ใน a=-\frac{5}{4}v+7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a=-\frac{5}{4}\times 4+7$$

คูณ -\frac{5}{4} ด้วย 4

$$a=-5+7$$

เพิ่ม 7 ไปยัง -5

$$a=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=2,v=4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4a+5v=28,6a+3v=24$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-5\times 6}&-\frac{5}{4\times 3-5\times 6}\\-\frac{6}{4\times 3-5\times 6}&\frac{4}{4\times 3-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{5}{18}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 28+\frac{5}{18}\times 24\\\frac{1}{3}\times 28-\frac{2}{9}\times 24\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a และ v

$$a=2,v=4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4a+5v=28,6a+3v=24$$

เพื่อทำให้ 4a และ 6a เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$6\times 4a+6\times 5v=6\times 28,4\times 6a+4\times 3v=4\times 24$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$24a+30v=168,24a+12v=96$$

ลบ 24a+12v=96 จาก 24a+30v=168 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$24a-24a+30v-12v=168-96$$

เพิ่ม 24a ไปยัง -24a ตัดพจน์ 24a และ -24a ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$30v-12v=168-96$$

เพิ่ม 30v ไปยัง -12v

$$18v=168-96$$

เพิ่ม 168 ไปยัง -96

$$18v=72$$

หารทั้งสองข้างด้วย 18

$$v=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ v ใน 6a+3v=24 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$6a+3\times 4=24$$

คูณ 3 ด้วย 4

$$6a+12=24$$

ลบ 12 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6a=12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$a=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=2,v=4$$