แก้โจทย์ {l}{4a+5b=9}{2a-b=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a + 5 b = 9 } \\ { 2 a - b = 7 } \end{array} \right.$$

หาค่า a, b

$$a = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7} \approx 3.142857143$$

$$b=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ a โดยแยก a ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4a+5b=9$$

ลบ 5b จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4a=-5b+9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$a=\frac{1}{4}\left(-5b+9\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -5b+9

$$a=-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}$$

ทดแทน \frac{-5b+9}{4} สำหรับ a ในอีกสมการหนึ่ง 2a-b=7

$$2\left(-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}\right)-b=7$$

คูณ 2 ด้วย \frac{-5b+9}{4}

$$-\frac{5}{2}b+\frac{9}{2}-b=7$$

เพิ่ม -\frac{5b}{2} ไปยัง -b

$$-\frac{7}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

ลบ \frac{9}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{7}{2}b=\frac{5}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{7}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$b=-\frac{5}{7}$$

ทดแทน -\frac{5}{7} สำหรับ b ใน a=-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a=-\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{7}\right)+\frac{9}{4}$$

คูณ -\frac{5}{4} ครั้ง -\frac{5}{7} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$a=\frac{25}{28}+\frac{9}{4}$$

เพิ่ม \frac{9}{4} ไปยัง \frac{25}{28} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$a=\frac{22}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-5\times 2}&-\frac{5}{4\left(-1\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-5\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 9+\frac{5}{14}\times 7\\\frac{1}{7}\times 9-\frac{2}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{7}\\-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a และ b

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

เพื่อทำให้ 4a และ 2a เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$2\times 4a+2\times 5b=2\times 9,4\times 2a+4\left(-1\right)b=4\times 7$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$8a+10b=18,8a-4b=28$$

ลบ 8a-4b=28 จาก 8a+10b=18 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8a-8a+10b+4b=18-28$$

เพิ่ม 8a ไปยัง -8a ตัดพจน์ 8a และ -8a ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$10b+4b=18-28$$

เพิ่ม 10b ไปยัง 4b

$$14b=18-28$$

เพิ่ม 18 ไปยัง -28

$$14b=-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 14

$$b=-\frac{5}{7}$$

ทดแทน -\frac{5}{7} สำหรับ b ใน 2a-b=7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$2a-\left(-\frac{5}{7}\right)=7$$

ลบ \frac{5}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2a=\frac{44}{7}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$a=\frac{22}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$