แก้โจทย์ {l}{4=3A-9D}{2=8A-8D}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 = 3 A - 9 D } \\ { 2 = 8 A - 8 D } \end{array} \right.$$

หาค่า A, D

$$A=-\frac{7}{24}\approx -0.291666667$$

$$D=-\frac{13}{24}\approx -0.541666667$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$3A-9D=4$$

พิจารณาสมการที่สอง สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$8A-8D=2$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ A โดยแยก A ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3A-9D=4$$

เพิ่ม 9D ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3A=9D+4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$A=\frac{1}{3}\left(9D+4\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 9D+4

$$A=3D+\frac{4}{3}$$

ทดแทน 3D+\frac{4}{3} สำหรับ A ในอีกสมการหนึ่ง 8A-8D=2

$$8\left(3D+\frac{4}{3}\right)-8D=2$$

คูณ 8 ด้วย 3D+\frac{4}{3}

$$24D+\frac{32}{3}-8D=2$$

เพิ่ม 24D ไปยัง -8D

$$16D+\frac{32}{3}=2$$

ลบ \frac{32}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$16D=-\frac{26}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 16

$$D=-\frac{13}{24}$$

ทดแทน -\frac{13}{24} สำหรับ D ใน A=3D+\frac{4}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า A โดยตรงได้

$$A=3\left(-\frac{13}{24}\right)+\frac{4}{3}$$

คูณ 3 ด้วย -\frac{13}{24}

$$A=-\frac{13}{8}+\frac{4}{3}$$

เพิ่ม \frac{4}{3} ไปยัง -\frac{13}{8} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$A=-\frac{7}{24}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$3A-9D=4$$

พิจารณาสมการที่สอง สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$8A-8D=2$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}&-\frac{-9}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}\\-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{3}{16}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 4+\frac{3}{16}\times 2\\-\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}\\-\frac{13}{24}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ A และ D

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$3A-9D=4$$

พิจารณาสมการที่สอง สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$8A-8D=2$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

เพื่อทำให้ 3A และ 8A เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 8 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$8\times 3A+8\left(-9\right)D=8\times 4,3\times 8A+3\left(-8\right)D=3\times 2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$24A-72D=32,24A-24D=6$$

ลบ 24A-24D=6 จาก 24A-72D=32 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$24A-24A-72D+24D=32-6$$

เพิ่ม 24A ไปยัง -24A ตัดพจน์ 24A และ -24A ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-72D+24D=32-6$$

เพิ่ม -72D ไปยัง 24D

$$-48D=32-6$$

เพิ่ม 32 ไปยัง -6

$$-48D=26$$

หารทั้งสองข้างด้วย -48

$$D=-\frac{13}{24}$$

ทดแทน -\frac{13}{24} สำหรับ D ใน 8A-8D=2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า A โดยตรงได้

$$8A-8\left(-\frac{13}{24}\right)=2$$

คูณ -8 ด้วย -\frac{13}{24}

$$8A+\frac{13}{3}=2$$

ลบ \frac{13}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$8A=-\frac{7}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$A=-\frac{7}{24}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$