แก้โจทย์ {l}{36x-5y=7}{6x+3y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 36 x - 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{61}{138}\approx 0.442028986$$

$$y = \frac{41}{23} = 1\frac{18}{23} \approx 1.782608696$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$36x-5y=7$$

เพิ่ม 5y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$36x=5y+7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 36

$$x=\frac{1}{36}\left(5y+7\right)$$

คูณ \frac{1}{36} ด้วย 5y+7

$$x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}$$

ทดแทน \frac{5y+7}{36} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 6x+3y=8

$$6\left(\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}\right)+3y=8$$

คูณ 6 ด้วย \frac{5y+7}{36}

$$\frac{5}{6}y+\frac{7}{6}+3y=8$$

เพิ่ม \frac{5y}{6} ไปยัง 3y

$$\frac{23}{6}y+\frac{7}{6}=8$$

ลบ \frac{7}{6} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{23}{6}y=\frac{41}{6}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{23}{6} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{41}{23}$$

ทดแทน \frac{41}{23} สำหรับ y ใน x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{5}{36}\times \frac{41}{23}+\frac{7}{36}$$

คูณ \frac{5}{36} ครั้ง \frac{41}{23} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{205}{828}+\frac{7}{36}$$

เพิ่ม \frac{7}{36} ไปยัง \frac{205}{828} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{61}{138}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&\frac{36}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}&\frac{5}{138}\\-\frac{1}{23}&\frac{6}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}\times 7+\frac{5}{138}\times 8\\-\frac{1}{23}\times 7+\frac{6}{23}\times 8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{61}{138}\\\frac{41}{23}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

เพื่อทำให้ 36x และ 6x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 36

$$6\times 36x+6\left(-5\right)y=6\times 7,36\times 6x+36\times 3y=36\times 8$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$216x-30y=42,216x+108y=288$$

ลบ 216x+108y=288 จาก 216x-30y=42 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$216x-216x-30y-108y=42-288$$

เพิ่ม 216x ไปยัง -216x ตัดพจน์ 216x และ -216x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-30y-108y=42-288$$

เพิ่ม -30y ไปยัง -108y

$$-138y=42-288$$

เพิ่ม 42 ไปยัง -288

$$-138y=-246$$

หารทั้งสองข้างด้วย -138

$$y=\frac{41}{23}$$

ทดแทน \frac{41}{23} สำหรับ y ใน 6x+3y=8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$6x+3\times \frac{41}{23}=8$$

คูณ 3 ด้วย \frac{41}{23}

$$6x+\frac{123}{23}=8$$

ลบ \frac{123}{23} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=\frac{61}{23}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=\frac{61}{138}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$