แก้โจทย์ {l}{32x+277+5y=0}{-4x-54y+4=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 32 x + 277 + 5 y = 0 } \\ { - 4 x - 54 y + 4 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{7489}{854} = -8\frac{657}{854} \approx -8.769320843$$

$$y=\frac{309}{427}\approx 0.723653396$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$32x+5y+277=0,-4x-54y+4=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$32x+5y+277=0$$

ลบ 277 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$32x+5y=-277$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$32x=-5y-277$$

หารทั้งสองข้างด้วย 32

$$x=\frac{1}{32}\left(-5y-277\right)$$

คูณ \frac{1}{32} ด้วย -5y-277

$$x=-\frac{5}{32}y-\frac{277}{32}$$

ทดแทน \frac{-5y-277}{32} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -4x-54y+4=0

$$-4\left(-\frac{5}{32}y-\frac{277}{32}\right)-54y+4=0$$

คูณ -4 ด้วย \frac{-5y-277}{32}

$$\frac{5}{8}y+\frac{277}{8}-54y+4=0$$

เพิ่ม \frac{5y}{8} ไปยัง -54y

$$-\frac{427}{8}y+\frac{277}{8}+4=0$$

เพิ่ม \frac{277}{8} ไปยัง 4

$$-\frac{427}{8}y+\frac{309}{8}=0$$

ลบ \frac{309}{8} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{427}{8}y=-\frac{309}{8}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{427}{8} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{309}{427}$$

ทดแทน \frac{309}{427} สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{32}y-\frac{277}{32} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{32}\times \frac{309}{427}-\frac{277}{32}$$

คูณ -\frac{5}{32} ครั้ง \frac{309}{427} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{1545}{13664}-\frac{277}{32}$$

เพิ่ม -\frac{277}{32} ไปยัง -\frac{1545}{13664} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{7489}{854}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{7489}{854},y=\frac{309}{427}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$32x+5y+277=0,-4x-54y+4=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}32&5\\-4&-54\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-277\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}32&5\\-4&-54\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}32&5\\-4&-54\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32&5\\-4&-54\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&5\\-4&-54\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-277\\-4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&5\\-4&-54\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-277\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&5\\-4&-54\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-277\\-4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{54}{32\left(-54\right)-5\left(-4\right)}&-\frac{5}{32\left(-54\right)-5\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{32\left(-54\right)-5\left(-4\right)}&\frac{32}{32\left(-54\right)-5\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-277\\-4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{854}&\frac{5}{1708}\\-\frac{1}{427}&-\frac{8}{427}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-277\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{854}\left(-277\right)+\frac{5}{1708}\left(-4\right)\\-\frac{1}{427}\left(-277\right)-\frac{8}{427}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7489}{854}\\\frac{309}{427}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{7489}{854},y=\frac{309}{427}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$32x+5y+277=0,-4x-54y+4=0$$

เพื่อทำให้ 32x และ -4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 32

$$-4\times 32x-4\times 5y-4\times 277=0,32\left(-4\right)x+32\left(-54\right)y+32\times 4=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-128x-20y-1108=0,-128x-1728y+128=0$$

ลบ -128x-1728y+128=0 จาก -128x-20y-1108=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-128x+128x-20y+1728y-1108-128=0$$

เพิ่ม -128x ไปยัง 128x ตัดพจน์ -128x และ 128x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-20y+1728y-1108-128=0$$

เพิ่ม -20y ไปยัง 1728y

$$1708y-1108-128=0$$

เพิ่ม -1108 ไปยัง -128

$$1708y-1236=0$$

เพิ่ม 1236 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$1708y=1236$$

หารทั้งสองข้างด้วย 1708

$$y=\frac{309}{427}$$

ทดแทน \frac{309}{427} สำหรับ y ใน -4x-54y+4=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-4x-54\times \frac{309}{427}+4=0$$

คูณ -54 ด้วย \frac{309}{427}

$$-4x-\frac{16686}{427}+4=0$$

เพิ่ม -\frac{16686}{427} ไปยัง 4

$$-4x-\frac{14978}{427}=0$$

เพิ่ม \frac{14978}{427} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-4x=\frac{14978}{427}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$x=-\frac{7489}{854}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{7489}{854},y=\frac{309}{427}$$