แก้โจทย์ {l}{3.5c+5.25a=365.75}{c+a=9.4}

$$\left. \begin{array} { l } { 3.5 c + 5.25 a = 365.75 } \\ { c + a = 9.4 } \end{array} \right.$$

หาค่า c, a

$$c=-180.8$$

$$a=190.2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3.5c+5.25a=365.75,c+a=9.4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ c โดยแยก c ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3.5c+5.25a=365.75$$

ลบ \frac{21a}{4} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3.5c=-5.25a+365.75$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 3.5 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$c=\frac{2}{7}\left(-5.25a+365.75\right)$$

คูณ \frac{2}{7} ด้วย \frac{-21a+1463}{4}

$$c=-1.5a+104.5$$

ทดแทน \frac{-3a+209}{2} สำหรับ c ในอีกสมการหนึ่ง c+a=9.4

$$-1.5a+104.5+a=9.4$$

เพิ่ม -\frac{3a}{2} ไปยัง a

$$-0.5a+104.5=9.4$$

ลบ 104.5 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-0.5a=-95.1$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -2

$$a=190.2$$

ทดแทน 190.2 สำหรับ a ใน c=-1.5a+104.5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า c โดยตรงได้

$$c=-1.5\times 190.2+104.5$$

คูณ -1.5 ครั้ง 190.2 โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$c=-285.3+104.5$$

เพิ่ม 104.5 ไปยัง -285.3 ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$c=-180.8$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$c=-180.8,a=190.2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3.5c+5.25a=365.75,c+a=9.4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3.5-5.25}&-\frac{5.25}{3.5-5.25}\\-\frac{1}{3.5-5.25}&\frac{3.5}{3.5-5.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&3\\\frac{4}{7}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 365.75+3\times 9.4\\\frac{4}{7}\times 365.75-2\times 9.4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-180.8\\190.2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ c และ a

$$c=-180.8,a=190.2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3.5c+5.25a=365.75,c+a=9.4$$

เพื่อทำให้ \frac{7c}{2} และ c เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3.5

$$3.5c+5.25a=365.75,3.5c+3.5a=3.5\times 9.4$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$3.5c+5.25a=365.75,3.5c+3.5a=32.9$$

ลบ 3.5c+3.5a=32.9 จาก 3.5c+5.25a=365.75 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3.5c-3.5c+5.25a-3.5a=365.75-32.9$$

เพิ่ม \frac{7c}{2} ไปยัง -\frac{7c}{2} ตัดพจน์ \frac{7c}{2} และ -\frac{7c}{2} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$5.25a-3.5a=365.75-32.9$$

เพิ่ม \frac{21a}{4} ไปยัง -\frac{7a}{2}

$$1.75a=365.75-32.9$$

เพิ่ม 365.75 ไปยัง -32.9 ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$1.75a=332.85$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 1.75 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$a=190.2$$

ทดแทน 190.2 สำหรับ a ใน c+a=9.4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า c โดยตรงได้

$$c+190.2=9.4$$

ลบ 190.2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$c=-180.8$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$c=-180.8,a=190.2$$