แก้โจทย์ {l}{3.4x=x+y/2}{4y=x+y/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3.4 x = \frac { x + y } { 2 } } \\ { 4 y = \frac { x + y } { 2 } } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=0$$

$$y=0$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$6.8x=x+y$$

ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$6.8x-x=y$$

รวม 6.8x และ -x เพื่อให้ได้รับ 5.8x

$$5.8x=y$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 5.8 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=\frac{5}{29}y$$

ทดแทน \frac{5y}{29} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -x+7y=0

$$-\frac{5}{29}y+7y=0$$

เพิ่ม -\frac{5y}{29} ไปยัง 7y

$$\frac{198}{29}y=0$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{198}{29} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ y ใน x=\frac{5}{29}y เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,y=0$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$6.8x=x+y$$

ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$6.8x-x=y$$

รวม 6.8x และ -x เพื่อให้ได้รับ 5.8x

$$5.8x=y$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$5.8x-y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$8y=x+y$$

ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$8y-x=y$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$8y-x-y=0$$

รวม 8y และ -y เพื่อให้ได้รับ 7y

$$7y-x=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5.8x-y=0,-x+7y=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5.8&-1\\-1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5.8&-1\\-1&7\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5.8&-1\\-1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5.8&-1\\-1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5.8&-1\\-1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5.8&-1\\-1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5.8&-1\\-1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5.8\times 7-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{5.8\times 7-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5.8\times 7-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{5.8}{5.8\times 7-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{198}&\frac{5}{198}\\\frac{5}{198}&\frac{29}{198}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=0,y=0$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$6.8x=x+y$$

ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$6.8x-x=y$$

รวม 6.8x และ -x เพื่อให้ได้รับ 5.8x

$$5.8x=y$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$5.8x-y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$8y=x+y$$

ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$8y-x=y$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$8y-x-y=0$$

รวม 8y และ -y เพื่อให้ได้รับ 7y

$$7y-x=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5.8x-y=0,-x+7y=0$$

เพื่อทำให้ \frac{29x}{5} และ -x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5.8

$$-5.8x-\left(-y\right)=0,5.8\left(-1\right)x+5.8\times 7y=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-5.8x+y=0,-5.8x+40.6y=0$$

ลบ -5.8x+40.6y=0 จาก -5.8x+y=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-5.8x+5.8x+y-40.6y=0$$

เพิ่ม -\frac{29x}{5} ไปยัง \frac{29x}{5} ตัดพจน์ -\frac{29x}{5} และ \frac{29x}{5} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$y-40.6y=0$$

เพิ่ม y ไปยัง -\frac{203y}{5}

$$-39.6y=0$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -39.6 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ y ใน -x+7y=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-x=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,y=0$$