แก้โจทย์ {l}{3y-6=x}{x-9=2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y - 6 = x } \\ { x - 9 = 2 y } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=39$$

$$y=15$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$3y-6-x=0$$

เพิ่ม 6 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$3y-x=6$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$x-9-2y=0$$

เพิ่ม 9 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$x-2y=9$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3y-x=6$$

เพิ่ม x ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3y=x+6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=\frac{1}{3}\left(x+6\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย x+6

$$y=\frac{1}{3}x+2$$

ทดแทน \frac{x}{3}+2 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง -2y+x=9

$$-2\left(\frac{1}{3}x+2\right)+x=9$$

คูณ -2 ด้วย \frac{x}{3}+2

$$-\frac{2}{3}x-4+x=9$$

เพิ่ม -\frac{2x}{3} ไปยัง x

$$\frac{1}{3}x-4=9$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{3}x=13$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=39$$

ทดแทน 39 สำหรับ x ใน y=\frac{1}{3}x+2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=\frac{1}{3}\times 39+2$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 39

$$y=13+2$$

เพิ่ม 2 ไปยัง 13

$$y=15$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=15,x=39$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$3y-6-x=0$$

เพิ่ม 6 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$3y-x=6$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$x-9-2y=0$$

เพิ่ม 9 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$x-2y=9$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6+9\\2\times 6+3\times 9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\39\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=15,x=39$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$3y-6-x=0$$

เพิ่ม 6 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$3y-x=6$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$x-9-2y=0$$

เพิ่ม 9 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$x-2y=9$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

เพื่อทำให้ 3y และ -2y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$-2\times 3y-2\left(-1\right)x=-2\times 6,3\left(-2\right)y+3x=3\times 9$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-6y+2x=-12,-6y+3x=27$$

ลบ -6y+3x=27 จาก -6y+2x=-12 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-6y+6y+2x-3x=-12-27$$

เพิ่ม -6y ไปยัง 6y ตัดพจน์ -6y และ 6y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2x-3x=-12-27$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -3x

$$-x=-12-27$$

เพิ่ม -12 ไปยัง -27

$$-x=-39$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=39$$

ทดแทน 39 สำหรับ x ใน -2y+x=9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$-2y+39=9$$

ลบ 39 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2y=-30$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$y=15$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=15,x=39$$