แก้โจทย์ {l}{3y+x=31}{2y+3x=44}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + x = 31 } \\ { 2 y + 3 x = 44 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=10$$

$$y=7$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3y+x=31$$

ลบ x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3y=-x+31$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=\frac{1}{3}\left(-x+31\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -x+31

$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}$$

ทดแทน \frac{-x+31}{3} สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 2y+3x=44

$$2\left(-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}\right)+3x=44$$

คูณ 2 ด้วย \frac{-x+31}{3}

$$-\frac{2}{3}x+\frac{62}{3}+3x=44$$

เพิ่ม -\frac{2x}{3} ไปยัง 3x

$$\frac{7}{3}x+\frac{62}{3}=44$$

ลบ \frac{62}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{7}{3}x=\frac{70}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{7}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=10$$

ทดแทน 10 สำหรับ x ใน y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-\frac{1}{3}\times 10+\frac{31}{3}$$

คูณ -\frac{1}{3} ด้วย 10

$$y=\frac{-10+31}{3}$$

เพิ่ม \frac{31}{3} ไปยัง -\frac{10}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$y=7$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$y=7,x=10$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2}&-\frac{1}{3\times 3-2}\\-\frac{2}{3\times 3-2}&\frac{3}{3\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 31-\frac{1}{7}\times 44\\-\frac{2}{7}\times 31+\frac{3}{7}\times 44\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=7,x=10$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

เพื่อทำให้ 3y และ 2y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$2\times 3y+2x=2\times 31,3\times 2y+3\times 3x=3\times 44$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6y+2x=62,6y+9x=132$$

ลบ 6y+9x=132 จาก 6y+2x=62 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6y-6y+2x-9x=62-132$$

เพิ่ม 6y ไปยัง -6y ตัดพจน์ 6y และ -6y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2x-9x=62-132$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -9x

$$-7x=62-132$$

เพิ่ม 62 ไปยัง -132

$$-7x=-70$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$x=10$$

ทดแทน 10 สำหรับ x ใน 2y+3x=44 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$2y+3\times 10=44$$

คูณ 3 ด้วย 10

$$2y+30=44$$

ลบ 30 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2y=14$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=7$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$y=7,x=10$$