แก้โจทย์ {l}{3y+2x=75}{x+y=50}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + 2 x = 75 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=75$$

$$y=-25$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3y+2x=75,y+x=50$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3y+2x=75$$

ลบ 2x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3y=-2x+75$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=\frac{1}{3}\left(-2x+75\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -2x+75

$$y=-\frac{2}{3}x+25$$

ทดแทน -\frac{2x}{3}+25 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง y+x=50

$$-\frac{2}{3}x+25+x=50$$

เพิ่ม -\frac{2x}{3} ไปยัง x

$$\frac{1}{3}x+25=50$$

ลบ 25 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{3}x=25$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=75$$

ทดแทน 75 สำหรับ x ใน y=-\frac{2}{3}x+25 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-\frac{2}{3}\times 75+25$$

คูณ -\frac{2}{3} ด้วย 75

$$y=-50+25$$

เพิ่ม 25 ไปยัง -50

$$y=-25$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-25,x=75$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3y+2x=75,y+x=50$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{2}{3-2}\\-\frac{1}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75-2\times 50\\-75+3\times 50\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\75\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=-25,x=75$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3y+2x=75,y+x=50$$

เพื่อทำให้ 3y และ y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$3y+2x=75,3y+3x=3\times 50$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$3y+2x=75,3y+3x=150$$

ลบ 3y+3x=150 จาก 3y+2x=75 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3y-3y+2x-3x=75-150$$

เพิ่ม 3y ไปยัง -3y ตัดพจน์ 3y และ -3y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2x-3x=75-150$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -3x

$$-x=75-150$$

เพิ่ม 75 ไปยัง -150

$$-x=-75$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=75$$

ทดแทน 75 สำหรับ x ใน y+x=50 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y+75=50$$

ลบ 75 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-25$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-25,x=75$$