แก้โจทย์ {l}{3x-5y=7}{x=2y+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 7 } \\ { x = 2 y + 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$x-2y=3$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x-5y=7,x-2y=3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-5y=7$$

เพิ่ม 5y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=5y+7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+7\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 5y+7

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}$$

ทดแทน \frac{5y+7}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x-2y=3

$$\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}-2y=3$$

เพิ่ม \frac{5y}{3} ไปยัง -2y

$$-\frac{1}{3}y+\frac{7}{3}=3$$

ลบ \frac{7}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{1}{3}y=\frac{2}{3}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน x=\frac{5}{3}y+\frac{7}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{5}{3}\left(-2\right)+\frac{7}{3}$$

คูณ \frac{5}{3} ด้วย -2

$$x=\frac{-10+7}{3}$$

เพิ่ม \frac{7}{3} ไปยัง -\frac{10}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-1,y=-2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$x-2y=3$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x-5y=7,x-2y=3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-5\\1&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 7-5\times 3\\7-3\times 3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-1,y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$x-2y=3$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x-5y=7,x-2y=3$$

เพื่อทำให้ 3x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$3x-5y=7,3x+3\left(-2\right)y=3\times 3$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$3x-5y=7,3x-6y=9$$

ลบ 3x-6y=9 จาก 3x-5y=7 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-3x-5y+6y=7-9$$

เพิ่ม 3x ไปยัง -3x ตัดพจน์ 3x และ -3x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-5y+6y=7-9$$

เพิ่ม -5y ไปยัง 6y

$$y=7-9$$

เพิ่ม 7 ไปยัง -9

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน x-2y=3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x-2\left(-2\right)=3$$

คูณ -2 ด้วย -2

$$x+4=3$$

ลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-1,y=-2$$