แก้โจทย์ {l}{3x-5y=11}{15x-16y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 11 } \\ { 15 x - 16 y = 7 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{47}{9} = -5\frac{2}{9} \approx -5.222222222$$

$$y = -\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3} \approx -5.333333333$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x-5y=11,15x-16y=7$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-5y=11$$

เพิ่ม 5y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=5y+11$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+11\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 5y+11

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{11}{3}$$

ทดแทน \frac{5y+11}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 15x-16y=7

$$15\left(\frac{5}{3}y+\frac{11}{3}\right)-16y=7$$

คูณ 15 ด้วย \frac{5y+11}{3}

$$25y+55-16y=7$$

เพิ่ม 25y ไปยัง -16y

$$9y+55=7$$

ลบ 55 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$9y=-48$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$y=-\frac{16}{3}$$

ทดแทน -\frac{16}{3} สำหรับ y ใน x=\frac{5}{3}y+\frac{11}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{16}{3}\right)+\frac{11}{3}$$

คูณ \frac{5}{3} ครั้ง -\frac{16}{3} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{80}{9}+\frac{11}{3}$$

เพิ่ม \frac{11}{3} ไปยัง -\frac{80}{9} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{47}{9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{47}{9},y=-\frac{16}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x-5y=11,15x-16y=7$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\15&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-5\\15&-16\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\15&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\15&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\15&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\15&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\15&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{3\left(-16\right)-\left(-5\times 15\right)}&-\frac{-5}{3\left(-16\right)-\left(-5\times 15\right)}\\-\frac{15}{3\left(-16\right)-\left(-5\times 15\right)}&\frac{3}{3\left(-16\right)-\left(-5\times 15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{27}&\frac{5}{27}\\-\frac{5}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{27}\times 11+\frac{5}{27}\times 7\\-\frac{5}{9}\times 11+\frac{1}{9}\times 7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{47}{9}\\-\frac{16}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{47}{9},y=-\frac{16}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x-5y=11,15x-16y=7$$

เพื่อทำให้ 3x และ 15x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 15 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$15\times 3x+15\left(-5\right)y=15\times 11,3\times 15x+3\left(-16\right)y=3\times 7$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$45x-75y=165,45x-48y=21$$

ลบ 45x-48y=21 จาก 45x-75y=165 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$45x-45x-75y+48y=165-21$$

เพิ่ม 45x ไปยัง -45x ตัดพจน์ 45x และ -45x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-75y+48y=165-21$$

เพิ่ม -75y ไปยัง 48y

$$-27y=165-21$$

เพิ่ม 165 ไปยัง -21

$$-27y=144$$

หารทั้งสองข้างด้วย -27

$$y=-\frac{16}{3}$$

ทดแทน -\frac{16}{3} สำหรับ y ใน 15x-16y=7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$15x-16\left(-\frac{16}{3}\right)=7$$

คูณ -16 ด้วย -\frac{16}{3}

$$15x+\frac{256}{3}=7$$

ลบ \frac{256}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$15x=-\frac{235}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 15

$$x=-\frac{47}{9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{47}{9},y=-\frac{16}{3}$$