แก้โจทย์ {l}{3x-5y=-6}{2x-3y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 6 } \\ { 2 x - 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-7$$

$$y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-5y=-6$$

เพิ่ม 5y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=5y-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(5y-6\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 5y-6

$$x=\frac{5}{3}y-2$$

ทดแทน \frac{5y}{3}-2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x-3y=-5

$$2\left(\frac{5}{3}y-2\right)-3y=-5$$

คูณ 2 ด้วย \frac{5y}{3}-2

$$\frac{10}{3}y-4-3y=-5$$

เพิ่ม \frac{10y}{3} ไปยัง -3y

$$\frac{1}{3}y-4=-5$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{3}y=-1$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน x=\frac{5}{3}y-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{5}{3}\left(-3\right)-2$$

คูณ \frac{5}{3} ด้วย -3

$$x=-5-2$$

เพิ่ม -2 ไปยัง -5

$$x=-7$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=-7,y=-3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\left(-6\right)+5\left(-5\right)\\-2\left(-6\right)+3\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-7,y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

เพื่อทำให้ 3x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\left(-6\right),3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\left(-5\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x-10y=-12,6x-9y=-15$$

ลบ 6x-9y=-15 จาก 6x-10y=-12 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x-10y+9y=-12+15$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-10y+9y=-12+15$$

เพิ่ม -10y ไปยัง 9y

$$-y=-12+15$$

เพิ่ม -12 ไปยัง 15

$$-y=3$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน 2x-3y=-5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-3\left(-3\right)=-5$$

คูณ -3 ด้วย -3

$$2x+9=-5$$

ลบ 9 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-14$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=-7$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=-7,y=-3$$