แก้โจทย์ {l}{3x-3y=2}{4x+7y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 3 y = 2 } \\ { 4 x + 7 y = - 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{5}{33}\approx 0.151515152$$

$$y=-\frac{17}{33}\approx -0.515151515$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-3y=2$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=3y+2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(3y+2\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 3y+2

$$x=y+\frac{2}{3}$$

ทดแทน y+\frac{2}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x+7y=-3

$$4\left(y+\frac{2}{3}\right)+7y=-3$$

คูณ 4 ด้วย y+\frac{2}{3}

$$4y+\frac{8}{3}+7y=-3$$

เพิ่ม 4y ไปยัง 7y

$$11y+\frac{8}{3}=-3$$

ลบ \frac{8}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$11y=-\frac{17}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 11

$$y=-\frac{17}{33}$$

ทดแทน -\frac{17}{33} สำหรับ y ใน x=y+\frac{2}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{17}{33}+\frac{2}{3}$$

เพิ่ม \frac{2}{3} ไปยัง -\frac{17}{33} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{5}{33}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{33}&\frac{1}{11}\\-\frac{4}{33}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{33}\times 2+\frac{1}{11}\left(-3\right)\\-\frac{4}{33}\times 2+\frac{1}{11}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{33}\\-\frac{17}{33}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

เพื่อทำให้ 3x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$4\times 3x+4\left(-3\right)y=4\times 2,3\times 4x+3\times 7y=3\left(-3\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$12x-12y=8,12x+21y=-9$$

ลบ 12x+21y=-9 จาก 12x-12y=8 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$12x-12x-12y-21y=8+9$$

เพิ่ม 12x ไปยัง -12x ตัดพจน์ 12x และ -12x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-12y-21y=8+9$$

เพิ่ม -12y ไปยัง -21y

$$-33y=8+9$$

เพิ่ม 8 ไปยัง 9

$$-33y=17$$

หารทั้งสองข้างด้วย -33

$$y=-\frac{17}{33}$$

ทดแทน -\frac{17}{33} สำหรับ y ใน 4x+7y=-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x+7\left(-\frac{17}{33}\right)=-3$$

คูณ 7 ด้วย -\frac{17}{33}

$$4x-\frac{119}{33}=-3$$

เพิ่ม \frac{119}{33} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=\frac{20}{33}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{5}{33}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$