แก้โจทย์ {l}{3x-2y=5}{-5-x+2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { - 5 - x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

$$y = \frac{47}{4} = 11\frac{3}{4} = 11.75$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-2y=5$$

เพิ่ม 2y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=2y+5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 2y+5

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

ทดแทน \frac{2y+5}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -x+2y-5=9

$$-\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y-5=9$$

คูณ -1 ด้วย \frac{2y+5}{3}

$$-\frac{2}{3}y-\frac{5}{3}+2y-5=9$$

เพิ่ม -\frac{2y}{3} ไปยัง 2y

$$\frac{4}{3}y-\frac{5}{3}-5=9$$

เพิ่ม -\frac{5}{3} ไปยัง -5

$$\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}=9$$

เพิ่ม \frac{20}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{4}{3}y=\frac{47}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{4}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{47}{4}$$

ทดแทน \frac{47}{4} สำหรับ y ใน x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{47}{4}+\frac{5}{3}$$

คูณ \frac{2}{3} ครั้ง \frac{47}{4} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{47}{6}+\frac{5}{3}$$

เพิ่ม \frac{5}{3} ไปยัง \frac{47}{6} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{19}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\\frac{47}{4}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

เพื่อทำให้ 3x และ -x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$-3x-\left(-2y\right)=-5,3\left(-1\right)x+3\times 2y+3\left(-5\right)=3\times 9$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-3x+2y=-5,-3x+6y-15=27$$

ลบ -3x+6y-15=27 จาก -3x+2y=-5 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-3x+3x+2y-6y+15=-5-27$$

เพิ่ม -3x ไปยัง 3x ตัดพจน์ -3x และ 3x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2y-6y+15=-5-27$$

เพิ่ม 2y ไปยัง -6y

$$-4y+15=-5-27$$

เพิ่ม -5 ไปยัง -27

$$-4y+15=-32$$

ลบ 15 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-4y=-47$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$y=\frac{47}{4}$$

ทดแทน \frac{47}{4} สำหรับ y ใน -x+2y-5=9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-x+2\times \frac{47}{4}-5=9$$

คูณ 2 ด้วย \frac{47}{4}

$$-x+\frac{47}{2}-5=9$$

เพิ่ม \frac{47}{2} ไปยัง -5

$$-x+\frac{37}{2}=9$$

ลบ \frac{37}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=-\frac{19}{2}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=\frac{19}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$