แก้โจทย์ {l}{3x-2y+3=0}{4x+3y-47=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y + 3 = 0 } \\ { 4 x + 3 y - 47 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=5$$

$$y=9$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-2y+3=0$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x-2y=-3$$

เพิ่ม 2y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=2y-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-3\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 2y-3

$$x=\frac{2}{3}y-1$$

ทดแทน \frac{2y}{3}-1 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x+3y-47=0

$$4\left(\frac{2}{3}y-1\right)+3y-47=0$$

คูณ 4 ด้วย \frac{2y}{3}-1

$$\frac{8}{3}y-4+3y-47=0$$

เพิ่ม \frac{8y}{3} ไปยัง 3y

$$\frac{17}{3}y-4-47=0$$

เพิ่ม -4 ไปยัง -47

$$\frac{17}{3}y-51=0$$

เพิ่ม 51 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{17}{3}y=51$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{17}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=9$$

ทดแทน 9 สำหรับ y ใน x=\frac{2}{3}y-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{2}{3}\times 9-1$$

คูณ \frac{2}{3} ด้วย 9

$$x=6-1$$

เพิ่ม -1 ไปยัง 6

$$x=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=5,y=9$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\-\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\left(-3\right)+\frac{2}{17}\times 47\\-\frac{4}{17}\left(-3\right)+\frac{3}{17}\times 47\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=5,y=9$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

เพื่อทำให้ 3x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$4\times 3x+4\left(-2\right)y+4\times 3=0,3\times 4x+3\times 3y+3\left(-47\right)=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$12x-8y+12=0,12x+9y-141=0$$

ลบ 12x+9y-141=0 จาก 12x-8y+12=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$12x-12x-8y-9y+12+141=0$$

เพิ่ม 12x ไปยัง -12x ตัดพจน์ 12x และ -12x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-8y-9y+12+141=0$$

เพิ่ม -8y ไปยัง -9y

$$-17y+12+141=0$$

เพิ่ม 12 ไปยัง 141

$$-17y+153=0$$

ลบ 153 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-17y=-153$$

หารทั้งสองข้างด้วย -17

$$y=9$$

ทดแทน 9 สำหรับ y ใน 4x+3y-47=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x+3\times 9-47=0$$

คูณ 3 ด้วย 9

$$4x+27-47=0$$

เพิ่ม 27 ไปยัง -47

$$4x-20=0$$

เพิ่ม 20 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=20$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=5,y=9$$