แก้โจทย์ {l}{3x-13=-y}{2x+9y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 13 = - y } \\ { 2 x + 9 y = - 8 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=5$$

$$y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม y ไปทั้งสองด้าน

$$3x-13+y=0$$

เพิ่ม 13 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$3x+y=13$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+y=13$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-y+13$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+13\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -y+13

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}$$

ทดแทน \frac{-y+13}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+9y=-8

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}\right)+9y=-8$$

คูณ 2 ด้วย \frac{-y+13}{3}

$$-\frac{2}{3}y+\frac{26}{3}+9y=-8$$

เพิ่ม -\frac{2y}{3} ไปยัง 9y

$$\frac{25}{3}y+\frac{26}{3}=-8$$

ลบ \frac{26}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{25}{3}y=-\frac{50}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{25}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{13}{3}$$

คูณ -\frac{1}{3} ด้วย -2

$$x=\frac{2+13}{3}$$

เพิ่ม \frac{13}{3} ไปยัง \frac{2}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=5,y=-2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม y ไปทั้งสองด้าน

$$3x-13+y=0$$

เพิ่ม 13 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$3x+y=13$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-2}&-\frac{1}{3\times 9-2}\\-\frac{2}{3\times 9-2}&\frac{3}{3\times 9-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{25}&-\frac{1}{25}\\-\frac{2}{25}&\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{25}\times 13-\frac{1}{25}\left(-8\right)\\-\frac{2}{25}\times 13+\frac{3}{25}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=5,y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม y ไปทั้งสองด้าน

$$3x-13+y=0$$

เพิ่ม 13 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$3x+y=13$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

เพื่อทำให้ 3x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$2\times 3x+2y=2\times 13,3\times 2x+3\times 9y=3\left(-8\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x+2y=26,6x+27y=-24$$

ลบ 6x+27y=-24 จาก 6x+2y=26 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x+2y-27y=26+24$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2y-27y=26+24$$

เพิ่ม 2y ไปยัง -27y

$$-25y=26+24$$

เพิ่ม 26 ไปยัง 24

$$-25y=50$$

หารทั้งสองข้างด้วย -25

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน 2x+9y=-8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+9\left(-2\right)=-8$$

คูณ 9 ด้วย -2

$$2x-18=-8$$

เพิ่ม 18 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=5,y=-2$$