แก้โจทย์ {l}{3x+y=9}{2x-3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 9 } \\ { 2 x - 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=3$$

$$y=0$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+y=9,2x-3y=6$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+y=9$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-y+9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+9\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -y+9

$$x=-\frac{1}{3}y+3$$

ทดแทน -\frac{y}{3}+3 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x-3y=6

$$2\left(-\frac{1}{3}y+3\right)-3y=6$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{y}{3}+3

$$-\frac{2}{3}y+6-3y=6$$

เพิ่ม -\frac{2y}{3} ไปยัง -3y

$$-\frac{11}{3}y+6=6$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{11}{3}y=0$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{11}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{3}y+3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=0$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+y=9,2x-3y=6$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-3\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-2}&\frac{3}{3\left(-3\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{2}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 9+\frac{1}{11}\times 6\\\frac{2}{11}\times 9-\frac{3}{11}\times 6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=3,y=0$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+y=9,2x-3y=6$$

เพื่อทำให้ 3x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$2\times 3x+2y=2\times 9,3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 6$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x+2y=18,6x-9y=18$$

ลบ 6x-9y=18 จาก 6x+2y=18 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x+2y+9y=18-18$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2y+9y=18-18$$

เพิ่ม 2y ไปยัง 9y

$$11y=18-18$$

เพิ่ม 18 ไปยัง -18

$$11y=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 11

$$y=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ y ใน 2x-3y=6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=0$$