แก้โจทย์ {l}{3x+y=5}{7x+y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { 7 x + y = 6 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = \frac{17}{4} = 4\frac{1}{4} = 4.25$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+y=5,7x+y=6$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+y=5$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-y+5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -y+5

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

ทดแทน \frac{-y+5}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 7x+y=6

$$7\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+y=6$$

คูณ 7 ด้วย \frac{-y+5}{3}

$$-\frac{7}{3}y+\frac{35}{3}+y=6$$

เพิ่ม -\frac{7y}{3} ไปยัง y

$$-\frac{4}{3}y+\frac{35}{3}=6$$

ลบ \frac{35}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{4}{3}y=-\frac{17}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{4}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{17}{4}$$

ทดแทน \frac{17}{4} สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{17}{4}+\frac{5}{3}$$

คูณ -\frac{1}{3} ครั้ง \frac{17}{4} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{17}{12}+\frac{5}{3}$$

เพิ่ม \frac{5}{3} ไปยัง -\frac{17}{12} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{1}{4}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{17}{4}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+y=5,7x+y=6$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-7}&-\frac{1}{3-7}\\-\frac{7}{3-7}&\frac{3}{3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{7}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 6\\\frac{7}{4}\times 5-\frac{3}{4}\times 6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{17}{4}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{17}{4}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+y=5,7x+y=6$$

ลบ 7x+y=6 จาก 3x+y=5 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-7x+y-y=5-6$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3x-7x=5-6$$

เพิ่ม 3x ไปยัง -7x

$$-4x=5-6$$

เพิ่ม 5 ไปยัง -6

$$-4x=-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$x=\frac{1}{4}$$

ทดแทน \frac{1}{4} สำหรับ x ใน 7x+y=6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$7\times \frac{1}{4}+y=6$$

คูณ 7 ด้วย \frac{1}{4}

$$\frac{7}{4}+y=6$$

ลบ \frac{7}{4} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=\frac{17}{4}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{17}{4}$$