แก้โจทย์ {l}{3x+y=5}{2x+y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { 2 x + y = 10 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-5$$

$$y=20$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+y=5,2x+y=10$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+y=5$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-y+5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -y+5

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

ทดแทน \frac{-y+5}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+y=10

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+y=10$$

คูณ 2 ด้วย \frac{-y+5}{3}

$$-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}+y=10$$

เพิ่ม -\frac{2y}{3} ไปยัง y

$$\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}=10$$

ลบ \frac{10}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{3}y=\frac{20}{3}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=20$$

ทดแทน 20 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{3}\times 20+\frac{5}{3}$$

คูณ -\frac{1}{3} ด้วย 20

$$x=\frac{-20+5}{3}$$

เพิ่ม \frac{5}{3} ไปยัง -\frac{20}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-5,y=20$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+y=5,2x+y=10$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5-10\\-2\times 5+3\times 10\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\20\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-5,y=20$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+y=5,2x+y=10$$

ลบ 2x+y=10 จาก 3x+y=5 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-2x+y-y=5-10$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3x-2x=5-10$$

เพิ่ม 3x ไปยัง -2x

$$x=5-10$$

เพิ่ม 5 ไปยัง -10

$$x=-5$$

ทดแทน -5 สำหรับ x ใน 2x+y=10 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$2\left(-5\right)+y=10$$

คูณ 2 ด้วย -5

$$-10+y=10$$

เพิ่ม 10 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=20$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-5,y=20$$