แก้โจทย์ {l}{3x+y=4}{6x+y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 4 } \\ { 6 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=0$$

$$y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+y=4,6x+y=4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+y=4$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-y+4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+4\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -y+4

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}$$

ทดแทน \frac{-y+4}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 6x+y=4

$$6\left(-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}\right)+y=4$$

คูณ 6 ด้วย \frac{-y+4}{3}

$$-2y+8+y=4$$

เพิ่ม -2y ไปยัง y

$$-y+8=4$$

ลบ 8 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-y=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{3}\times 4+\frac{4}{3}$$

คูณ -\frac{1}{3} ด้วย 4

$$x=\frac{-4+4}{3}$$

เพิ่ม \frac{4}{3} ไปยัง -\frac{4}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,y=4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+y=4,6x+y=4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&1\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&1\\6&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-6}&-\frac{1}{3-6}\\-\frac{6}{3-6}&\frac{3}{3-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{3}\times 4\\2\times 4-4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=0,y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+y=4,6x+y=4$$

ลบ 6x+y=4 จาก 3x+y=4 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-6x+y-y=4-4$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3x-6x=4-4$$

เพิ่ม 3x ไปยัง -6x

$$-3x=4-4$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -4

$$-3x=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$x=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ x ใน 6x+y=4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,y=4$$