แก้โจทย์ {l}{3x+y=4}{5x-y=22}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 4 } \\ { 5 x - y = 22 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{13}{4} = 3\frac{1}{4} = 3.25$$

$$y = -\frac{23}{4} = -5\frac{3}{4} = -5.75$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+y=4,5x-y=22$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+y=4$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-y+4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+4\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -y+4

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}$$

ทดแทน \frac{-y+4}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x-y=22

$$5\left(-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}\right)-y=22$$

คูณ 5 ด้วย \frac{-y+4}{3}

$$-\frac{5}{3}y+\frac{20}{3}-y=22$$

เพิ่ม -\frac{5y}{3} ไปยัง -y

$$-\frac{8}{3}y+\frac{20}{3}=22$$

ลบ \frac{20}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{8}{3}y=\frac{46}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{8}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{23}{4}$$

ทดแทน -\frac{23}{4} สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{23}{4}\right)+\frac{4}{3}$$

คูณ -\frac{1}{3} ครั้ง -\frac{23}{4} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{23}{12}+\frac{4}{3}$$

เพิ่ม \frac{4}{3} ไปยัง \frac{23}{12} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{13}{4}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{13}{4},y=-\frac{23}{4}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+y=4,5x-y=22$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\22\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\22\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\22\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\22\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}\\-\frac{5}{3\left(-1\right)-5}&\frac{3}{3\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\22\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\22\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 4+\frac{1}{8}\times 22\\\frac{5}{8}\times 4-\frac{3}{8}\times 22\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{4}\\-\frac{23}{4}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{13}{4},y=-\frac{23}{4}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+y=4,5x-y=22$$

เพื่อทำให้ 3x และ 5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$5\times 3x+5y=5\times 4,3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 22$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$15x+5y=20,15x-3y=66$$

ลบ 15x-3y=66 จาก 15x+5y=20 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$15x-15x+5y+3y=20-66$$

เพิ่ม 15x ไปยัง -15x ตัดพจน์ 15x และ -15x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$5y+3y=20-66$$

เพิ่ม 5y ไปยัง 3y

$$8y=20-66$$

เพิ่ม 20 ไปยัง -66

$$8y=-46$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$y=-\frac{23}{4}$$

ทดแทน -\frac{23}{4} สำหรับ y ใน 5x-y=22 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x-\left(-\frac{23}{4}\right)=22$$

ลบ \frac{23}{4} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=\frac{65}{4}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{13}{4}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{13}{4},y=-\frac{23}{4}$$