แก้โจทย์ {l}{3x+7y=6}{x+3y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 6 } \\ { x + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-33$$

$$y=15$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+7y=6,x+3y=12$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+7y=6$$

ลบ 7y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-7y+6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+6\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -7y+6

$$x=-\frac{7}{3}y+2$$

ทดแทน -\frac{7y}{3}+2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+3y=12

$$-\frac{7}{3}y+2+3y=12$$

เพิ่ม -\frac{7y}{3} ไปยัง 3y

$$\frac{2}{3}y+2=12$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{2}{3}y=10$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{2}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=15$$

ทดแทน 15 สำหรับ y ใน x=-\frac{7}{3}y+2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{7}{3}\times 15+2$$

คูณ -\frac{7}{3} ด้วย 15

$$x=-35+2$$

เพิ่ม 2 ไปยัง -35

$$x=-33$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-33,y=15$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+7y=6,x+3y=12$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-7}&-\frac{7}{3\times 3-7}\\-\frac{1}{3\times 3-7}&\frac{3}{3\times 3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{7}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 6-\frac{7}{2}\times 12\\-\frac{1}{2}\times 6+\frac{3}{2}\times 12\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-33\\15\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-33,y=15$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+7y=6,x+3y=12$$

เพื่อทำให้ 3x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$3x+7y=6,3x+3\times 3y=3\times 12$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$3x+7y=6,3x+9y=36$$

ลบ 3x+9y=36 จาก 3x+7y=6 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-3x+7y-9y=6-36$$

เพิ่ม 3x ไปยัง -3x ตัดพจน์ 3x และ -3x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$7y-9y=6-36$$

เพิ่ม 7y ไปยัง -9y

$$-2y=6-36$$

เพิ่ม 6 ไปยัง -36

$$-2y=-30$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$y=15$$

ทดแทน 15 สำหรับ y ใน x+3y=12 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x+3\times 15=12$$

คูณ 3 ด้วย 15

$$x+45=12$$

ลบ 45 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-33$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-33,y=15$$