แก้โจทย์ {l}{3x+5y=21}{5x+2y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 21 } \\ { 5 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{22}{19} = -1\frac{3}{19} \approx -1.157894737$$

$$y = \frac{93}{19} = 4\frac{17}{19} \approx 4.894736842$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+5y=21$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-5y+21$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+21\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -5y+21

$$x=-\frac{5}{3}y+7$$

ทดแทน -\frac{5y}{3}+7 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x+2y=4

$$5\left(-\frac{5}{3}y+7\right)+2y=4$$

คูณ 5 ด้วย -\frac{5y}{3}+7

$$-\frac{25}{3}y+35+2y=4$$

เพิ่ม -\frac{25y}{3} ไปยัง 2y

$$-\frac{19}{3}y+35=4$$

ลบ 35 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{19}{3}y=-31$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{19}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{93}{19}$$

ทดแทน \frac{93}{19} สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{3}y+7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{93}{19}+7$$

คูณ -\frac{5}{3} ครั้ง \frac{93}{19} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{155}{19}+7$$

เพิ่ม 7 ไปยัง -\frac{155}{19}

$$x=-\frac{22}{19}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 2-5\times 5}&\frac{3}{3\times 2-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{5}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 21+\frac{5}{19}\times 4\\\frac{5}{19}\times 21-\frac{3}{19}\times 4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{19}\\\frac{93}{19}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

เพื่อทำให้ 3x และ 5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$5\times 3x+5\times 5y=5\times 21,3\times 5x+3\times 2y=3\times 4$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$15x+25y=105,15x+6y=12$$

ลบ 15x+6y=12 จาก 15x+25y=105 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$15x-15x+25y-6y=105-12$$

เพิ่ม 15x ไปยัง -15x ตัดพจน์ 15x และ -15x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$25y-6y=105-12$$

เพิ่ม 25y ไปยัง -6y

$$19y=105-12$$

เพิ่ม 105 ไปยัง -12

$$19y=93$$

หารทั้งสองข้างด้วย 19

$$y=\frac{93}{19}$$

ทดแทน \frac{93}{19} สำหรับ y ใน 5x+2y=4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x+2\times \frac{93}{19}=4$$

คูณ 2 ด้วย \frac{93}{19}

$$5x+\frac{186}{19}=4$$

ลบ \frac{186}{19} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-\frac{110}{19}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=-\frac{22}{19}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$