แก้โจทย์ {l}{3x+4y=253}{y=5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 253 } \\ { y = 5 x } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=11$$

$$y=55$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 5x จากทั้งสองด้าน

$$y-5x=0$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+4y=253$$

ลบ 4y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-4y+253$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+253\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -4y+253

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}$$

ทดแทน \frac{-4y+253}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -5x+y=0

$$-5\left(-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}\right)+y=0$$

คูณ -5 ด้วย \frac{-4y+253}{3}

$$\frac{20}{3}y-\frac{1265}{3}+y=0$$

เพิ่ม \frac{20y}{3} ไปยัง y

$$\frac{23}{3}y-\frac{1265}{3}=0$$

เพิ่ม \frac{1265}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{23}{3}y=\frac{1265}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{23}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=55$$

ทดแทน 55 สำหรับ y ใน x=-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{4}{3}\times 55+\frac{253}{3}$$

คูณ -\frac{4}{3} ด้วย 55

$$x=\frac{-220+253}{3}$$

เพิ่ม \frac{253}{3} ไปยัง -\frac{220}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=11$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=11,y=55$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 5x จากทั้งสองด้าน

$$y-5x=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3-4\left(-5\right)}&\frac{3}{3-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}&-\frac{4}{23}\\\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}\times 253\\\frac{5}{23}\times 253\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\55\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=11,y=55$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 5x จากทั้งสองด้าน

$$y-5x=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

เพื่อทำให้ 3x และ -5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$-5\times 3x-5\times 4y=-5\times 253,3\left(-5\right)x+3y=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-15x-20y=-1265,-15x+3y=0$$

ลบ -15x+3y=0 จาก -15x-20y=-1265 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-15x+15x-20y-3y=-1265$$

เพิ่ม -15x ไปยัง 15x ตัดพจน์ -15x และ 15x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-20y-3y=-1265$$

เพิ่ม -20y ไปยัง -3y

$$-23y=-1265$$

หารทั้งสองข้างด้วย -23

$$y=55$$

ทดแทน 55 สำหรับ y ใน -5x+y=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-5x+55=0$$

ลบ 55 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-5x=-55$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$x=11$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=11,y=55$$