แก้โจทย์ {l}{3x+4y=16}{5x-3y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 16 } \\ { 5 x - 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{80}{29} = 2\frac{22}{29} \approx 2.75862069$$

$$y = \frac{56}{29} = 1\frac{27}{29} \approx 1.931034483$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+4y=16,5x-3y=8$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+4y=16$$

ลบ 4y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-4y+16$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+16\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -4y+16

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}$$

ทดแทน \frac{-4y+16}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x-3y=8

$$5\left(-\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}\right)-3y=8$$

คูณ 5 ด้วย \frac{-4y+16}{3}

$$-\frac{20}{3}y+\frac{80}{3}-3y=8$$

เพิ่ม -\frac{20y}{3} ไปยัง -3y

$$-\frac{29}{3}y+\frac{80}{3}=8$$

ลบ \frac{80}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{29}{3}y=-\frac{56}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{29}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{56}{29}$$

ทดแทน \frac{56}{29} สำหรับ y ใน x=-\frac{4}{3}y+\frac{16}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{56}{29}+\frac{16}{3}$$

คูณ -\frac{4}{3} ครั้ง \frac{56}{29} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{224}{87}+\frac{16}{3}$$

เพิ่ม \frac{16}{3} ไปยัง -\frac{224}{87} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{80}{29}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{80}{29},y=\frac{56}{29}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+4y=16,5x-3y=8$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&4\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&4\\5&-3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 5}&-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-3\right)-4\times 5}&\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}&\frac{4}{29}\\\frac{5}{29}&-\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}\times 16+\frac{4}{29}\times 8\\\frac{5}{29}\times 16-\frac{3}{29}\times 8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{29}\\\frac{56}{29}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{80}{29},y=\frac{56}{29}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+4y=16,5x-3y=8$$

เพื่อทำให้ 3x และ 5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$5\times 3x+5\times 4y=5\times 16,3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 8$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$15x+20y=80,15x-9y=24$$

ลบ 15x-9y=24 จาก 15x+20y=80 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$15x-15x+20y+9y=80-24$$

เพิ่ม 15x ไปยัง -15x ตัดพจน์ 15x และ -15x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$20y+9y=80-24$$

เพิ่ม 20y ไปยัง 9y

$$29y=80-24$$

เพิ่ม 80 ไปยัง -24

$$29y=56$$

หารทั้งสองข้างด้วย 29

$$y=\frac{56}{29}$$

ทดแทน \frac{56}{29} สำหรับ y ใน 5x-3y=8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x-3\times \frac{56}{29}=8$$

คูณ -3 ด้วย \frac{56}{29}

$$5x-\frac{168}{29}=8$$

เพิ่ม \frac{168}{29} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=\frac{400}{29}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{80}{29}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{80}{29},y=\frac{56}{29}$$