แก้โจทย์ {l}{3x+3y=12}{3x+2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 3 y = 12 } \\ { 3 x + 2 y = 13 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=5$$

$$y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+3y=12,3x+2y=13$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+3y=12$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-3y+12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-3y+12\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -3y+12

$$x=-y+4$$

ทดแทน -y+4 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+2y=13

$$3\left(-y+4\right)+2y=13$$

คูณ 3 ด้วย -y+4

$$-3y+12+2y=13$$

เพิ่ม -3y ไปยัง 2y

$$-y+12=13$$

ลบ 12 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-y=1$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน x=-y+4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\left(-1\right)+4$$

คูณ -1 ด้วย -1

$$x=1+4$$

เพิ่ม 4 ไปยัง 1

$$x=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=5,y=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+3y=12,3x+2y=13$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&3\\3&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{3\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{3\times 2-3\times 3}&\frac{3}{3\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 12+13\\12-13\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=5,y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+3y=12,3x+2y=13$$

ลบ 3x+2y=13 จาก 3x+3y=12 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-3x+3y-2y=12-13$$

เพิ่ม 3x ไปยัง -3x ตัดพจน์ 3x และ -3x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3y-2y=12-13$$

เพิ่ม 3y ไปยัง -2y

$$y=12-13$$

เพิ่ม 12 ไปยัง -13

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน 3x+2y=13 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+2\left(-1\right)=13$$

คูณ 2 ด้วย -1

$$3x-2=13$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=15$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=5,y=-1$$