แก้โจทย์ {l}{3x+2y=87}{5x+6y=187}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 87 } \\ { 5 x + 6 y = 187 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{37}{2} = 18\frac{1}{2} = 18.5$$

$$y = \frac{63}{4} = 15\frac{3}{4} = 15.75$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+2y=87$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-2y+87$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+87\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -2y+87

$$x=-\frac{2}{3}y+29$$

ทดแทน -\frac{2y}{3}+29 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x+6y=187

$$5\left(-\frac{2}{3}y+29\right)+6y=187$$

คูณ 5 ด้วย -\frac{2y}{3}+29

$$-\frac{10}{3}y+145+6y=187$$

เพิ่ม -\frac{10y}{3} ไปยัง 6y

$$\frac{8}{3}y+145=187$$

ลบ 145 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{8}{3}y=42$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{8}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{63}{4}$$

ทดแทน \frac{63}{4} สำหรับ y ใน x=-\frac{2}{3}y+29 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{63}{4}+29$$

คูณ -\frac{2}{3} ครั้ง \frac{63}{4} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{21}{2}+29$$

เพิ่ม 29 ไปยัง -\frac{21}{2}

$$x=\frac{37}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-2\times 5}&-\frac{2}{3\times 6-2\times 5}\\-\frac{5}{3\times 6-2\times 5}&\frac{3}{3\times 6-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 87-\frac{1}{4}\times 187\\-\frac{5}{8}\times 87+\frac{3}{8}\times 187\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{37}{2}\\\frac{63}{4}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

เพื่อทำให้ 3x และ 5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 87,3\times 5x+3\times 6y=3\times 187$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$15x+10y=435,15x+18y=561$$

ลบ 15x+18y=561 จาก 15x+10y=435 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$15x-15x+10y-18y=435-561$$

เพิ่ม 15x ไปยัง -15x ตัดพจน์ 15x และ -15x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$10y-18y=435-561$$

เพิ่ม 10y ไปยัง -18y

$$-8y=435-561$$

เพิ่ม 435 ไปยัง -561

$$-8y=-126$$

หารทั้งสองข้างด้วย -8

$$y=\frac{63}{4}$$

ทดแทน \frac{63}{4} สำหรับ y ใน 5x+6y=187 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x+6\times \frac{63}{4}=187$$

คูณ 6 ด้วย \frac{63}{4}

$$5x+\frac{189}{2}=187$$

ลบ \frac{189}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=\frac{185}{2}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{37}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$