แก้โจทย์ {l}{3x+2y=8}{2x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 8 } \\ { 2 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+2y=8,2x+3y=9$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+2y=8$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-2y+8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+8\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -2y+8

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

ทดแทน \frac{-2y+8}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+3y=9

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)+3y=9$$

คูณ 2 ด้วย \frac{-2y+8}{3}

$$-\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}+3y=9$$

เพิ่ม -\frac{4y}{3} ไปยัง 3y

$$\frac{5}{3}y+\frac{16}{3}=9$$

ลบ \frac{16}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{5}{3}y=\frac{11}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{5}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{11}{5}$$

ทดแทน \frac{11}{5} สำหรับ y ใน x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{11}{5}+\frac{8}{3}$$

คูณ -\frac{2}{3} ครั้ง \frac{11}{5} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{22}{15}+\frac{8}{3}$$

เพิ่ม \frac{8}{3} ไปยัง -\frac{22}{15} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{6}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{11}{5}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+2y=8,2x+3y=9$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\times 2}&-\frac{2}{3\times 3-2\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-2\times 2}&\frac{3}{3\times 3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 8-\frac{2}{5}\times 9\\-\frac{2}{5}\times 8+\frac{3}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{11}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+2y=8,2x+3y=9$$

เพื่อทำให้ 3x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 8,3\times 2x+3\times 3y=3\times 9$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x+4y=16,6x+9y=27$$

ลบ 6x+9y=27 จาก 6x+4y=16 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x+4y-9y=16-27$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4y-9y=16-27$$

เพิ่ม 4y ไปยัง -9y

$$-5y=16-27$$

เพิ่ม 16 ไปยัง -27

$$-5y=-11$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$y=\frac{11}{5}$$

ทดแทน \frac{11}{5} สำหรับ y ใน 2x+3y=9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+3\times \frac{11}{5}=9$$

คูณ 3 ด้วย \frac{11}{5}

$$2x+\frac{33}{5}=9$$

ลบ \frac{33}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=\frac{12}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{6}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{11}{5}$$