แก้โจทย์ {l}{3x+2y=12}{4x-y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 12 } \\ { 4 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{34}{11} = 3\frac{1}{11} \approx 3.090909091$$

$$y = \frac{15}{11} = 1\frac{4}{11} \approx 1.363636364$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+2y=12,4x-y=11$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+2y=12$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-2y+12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+12\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -2y+12

$$x=-\frac{2}{3}y+4$$

ทดแทน -\frac{2y}{3}+4 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x-y=11

$$4\left(-\frac{2}{3}y+4\right)-y=11$$

คูณ 4 ด้วย -\frac{2y}{3}+4

$$-\frac{8}{3}y+16-y=11$$

เพิ่ม -\frac{8y}{3} ไปยัง -y

$$-\frac{11}{3}y+16=11$$

ลบ 16 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{11}{3}y=-5$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{11}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{15}{11}$$

ทดแทน \frac{15}{11} สำหรับ y ใน x=-\frac{2}{3}y+4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{15}{11}+4$$

คูณ -\frac{2}{3} ครั้ง \frac{15}{11} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{10}{11}+4$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -\frac{10}{11}

$$x=\frac{34}{11}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{15}{11}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+2y=12,4x-y=11$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\times 4}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-2\times 4}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 12+\frac{2}{11}\times 11\\\frac{4}{11}\times 12-\frac{3}{11}\times 11\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{34}{11}\\\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{15}{11}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+2y=12,4x-y=11$$

เพื่อทำให้ 3x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 12,3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 11$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$12x+8y=48,12x-3y=33$$

ลบ 12x-3y=33 จาก 12x+8y=48 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$12x-12x+8y+3y=48-33$$

เพิ่ม 12x ไปยัง -12x ตัดพจน์ 12x และ -12x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$8y+3y=48-33$$

เพิ่ม 8y ไปยัง 3y

$$11y=48-33$$

เพิ่ม 48 ไปยัง -33

$$11y=15$$

หารทั้งสองข้างด้วย 11

$$y=\frac{15}{11}$$

ทดแทน \frac{15}{11} สำหรับ y ใน 4x-y=11 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x-\frac{15}{11}=11$$

เพิ่ม \frac{15}{11} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=\frac{136}{11}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{34}{11}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{15}{11}$$