แก้โจทย์ {l}{3x+2y=-10}{2x-10y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = - 10 } \\ { 2 x - 10 y = - 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-3$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+2y=-10,2x-10y=-1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+2y=-10$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-2y-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-10\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -2y-10

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}$$

ทดแทน \frac{-2y-10}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x-10y=-1

$$2\left(-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}\right)-10y=-1$$

คูณ 2 ด้วย \frac{-2y-10}{3}

$$-\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}-10y=-1$$

เพิ่ม -\frac{4y}{3} ไปยัง -10y

$$-\frac{34}{3}y-\frac{20}{3}=-1$$

เพิ่ม \frac{20}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{34}{3}y=\frac{17}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{34}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{1}{2}$$

ทดแทน -\frac{1}{2} สำหรับ y ใน x=-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{10}{3}$$

คูณ -\frac{2}{3} ครั้ง -\frac{1}{2} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{1-10}{3}$$

เพิ่ม -\frac{10}{3} ไปยัง \frac{1}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-3,y=-\frac{1}{2}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+2y=-10,2x-10y=-1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3\left(-10\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-10\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-10\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-10\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{1}{17}\\\frac{1}{17}&-\frac{3}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\left(-10\right)+\frac{1}{17}\left(-1\right)\\\frac{1}{17}\left(-10\right)-\frac{3}{34}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-3,y=-\frac{1}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+2y=-10,2x-10y=-1$$

เพื่อทำให้ 3x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$2\times 3x+2\times 2y=2\left(-10\right),3\times 2x+3\left(-10\right)y=3\left(-1\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x+4y=-20,6x-30y=-3$$

ลบ 6x-30y=-3 จาก 6x+4y=-20 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x+4y+30y=-20+3$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4y+30y=-20+3$$

เพิ่ม 4y ไปยัง 30y

$$34y=-20+3$$

เพิ่ม -20 ไปยัง 3

$$34y=-17$$

หารทั้งสองข้างด้วย 34

$$y=-\frac{1}{2}$$

ทดแทน -\frac{1}{2} สำหรับ y ใน 2x-10y=-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-10\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$$

คูณ -10 ด้วย -\frac{1}{2}

$$2x+5=-1$$

ลบ 5 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=-3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-3,y=-\frac{1}{2}$$