แก้โจทย์ {l}{3x+2y=-1}{6x+6y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = - 1 } \\ { 6 x + 6 y = - 5 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$y = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+2y=-1,6x+6y=-5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+2y=-1$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-2y-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-1\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -2y-1

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}$$

ทดแทน \frac{-2y-1}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 6x+6y=-5

$$6\left(-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}\right)+6y=-5$$

คูณ 6 ด้วย \frac{-2y-1}{3}

$$-4y-2+6y=-5$$

เพิ่ม -4y ไปยัง 6y

$$2y-2=-5$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2y=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=-\frac{3}{2}$$

ทดแทน -\frac{3}{2} สำหรับ y ใน x=-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{2}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)-\frac{1}{3}$$

คูณ -\frac{2}{3} ครั้ง -\frac{3}{2} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=1-\frac{1}{3}$$

เพิ่ม -\frac{1}{3} ไปยัง 1

$$x=\frac{2}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{2}{3},y=-\frac{3}{2}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+2y=-1,6x+6y=-5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-2\times 6}&-\frac{2}{3\times 6-2\times 6}\\-\frac{6}{3\times 6-2\times 6}&\frac{3}{3\times 6-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1-\frac{1}{3}\left(-5\right)\\-\left(-1\right)+\frac{1}{2}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{2}{3},y=-\frac{3}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+2y=-1,6x+6y=-5$$

เพื่อทำให้ 3x และ 6x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$6\times 3x+6\times 2y=6\left(-1\right),3\times 6x+3\times 6y=3\left(-5\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$18x+12y=-6,18x+18y=-15$$

ลบ 18x+18y=-15 จาก 18x+12y=-6 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$18x-18x+12y-18y=-6+15$$

เพิ่ม 18x ไปยัง -18x ตัดพจน์ 18x และ -18x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$12y-18y=-6+15$$

เพิ่ม 12y ไปยัง -18y

$$-6y=-6+15$$

เพิ่ม -6 ไปยัง 15

$$-6y=9$$

หารทั้งสองข้างด้วย -6

$$y=-\frac{3}{2}$$

ทดแทน -\frac{3}{2} สำหรับ y ใน 6x+6y=-5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$6x+6\left(-\frac{3}{2}\right)=-5$$

คูณ 6 ด้วย -\frac{3}{2}

$$6x-9=-5$$

เพิ่ม 9 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=\frac{2}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{2}{3},y=-\frac{3}{2}$$