แก้โจทย์ {l}{3w-2z=5}{w+2z=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 w - 2 z = 5 } \\ { w + 2 z = 15 } \end{array} \right.$$

หาค่า w, z

$$z=5$$

$$w=5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ w โดยแยก w ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3w-2z=5$$

เพิ่ม 2z ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3w=2z+5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$w=\frac{1}{3}\left(2z+5\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 2z+5

$$w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}$$

ทดแทน \frac{2z+5}{3} สำหรับ w ในอีกสมการหนึ่ง w+2z=15

$$\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}+2z=15$$

เพิ่ม \frac{2z}{3} ไปยัง 2z

$$\frac{8}{3}z+\frac{5}{3}=15$$

ลบ \frac{5}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{8}{3}z=\frac{40}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{8}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$z=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ z ใน w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า w โดยตรงได้

$$w=\frac{2}{3}\times 5+\frac{5}{3}$$

คูณ \frac{2}{3} ด้วย 5

$$w=\frac{10+5}{3}$$

เพิ่ม \frac{5}{3} ไปยัง \frac{10}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$w=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$w=5,z=5$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 15\\-\frac{1}{8}\times 5+\frac{3}{8}\times 15\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ w และ z

$$w=5,z=5$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

เพื่อทำให้ 3w และ w เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$3w-2z=5,3w+3\times 2z=3\times 15$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$3w-2z=5,3w+6z=45$$

ลบ 3w+6z=45 จาก 3w-2z=5 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3w-3w-2z-6z=5-45$$

เพิ่ม 3w ไปยัง -3w ตัดพจน์ 3w และ -3w ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-2z-6z=5-45$$

เพิ่ม -2z ไปยัง -6z

$$-8z=5-45$$

เพิ่ม 5 ไปยัง -45

$$-8z=-40$$

หารทั้งสองข้างด้วย -8

$$z=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ z ใน w+2z=15 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า w โดยตรงได้

$$w+2\times 5=15$$

คูณ 2 ด้วย 5

$$w+10=15$$

ลบ 10 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$w=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$w=5,z=5$$