แก้โจทย์ {l}{3u+z=15}{u+2z=10}

หาค่า u, z

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

แบบทดสอบ

โจทย์ปัญหาที่คล้ายคลึงกันจากการค้นหาในเว็บ

https://physics.stackexchange.com/questions/452228/representing-tensor-products-using-diracs-bra-ket-notation

https://math.stackexchange.com/questions/804123/for-this-2-by-2-locally-linear-system-how-to-determine-that-this-indeterminate

https://math.stackexchange.com/questions/1689411/palindromes-on-keypad-and-divisibility-by-111

แชร์

คัดลอกไปยังคลิปบอร์ดแล้ว

3u+z=15,u+2z=10

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

3u+z=15

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ u โดยแยก u ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

3u=-z+15

ลบ z จากทั้งสองข้างของสมการ

u=\frac{1}{3}\left(-z+15\right)

หารทั้งสองข้างด้วย 3

u=-\frac{1}{3}z+5

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -z+15

-\frac{1}{3}z+5+2z=10

ทดแทน -\frac{z}{3}+5 สำหรับ u ในอีกสมการหนึ่ง u+2z=10

\frac{5}{3}z+5=10

เพิ่ม -\frac{z}{3} ไปยัง 2z

\frac{5}{3}z=5

ลบ 5 จากทั้งสองข้างของสมการ

z=3

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{5}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

u=-\frac{1}{3}\times 3+5

ทดแทน 3 สำหรับ z ใน u=-\frac{1}{3}z+5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า u โดยตรงได้

u=-1+5

คูณ -\frac{1}{3} ด้วย 3

u=4

เพิ่ม 5 ไปยัง -1

u=4,z=3

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

3u+z=15,u+2z=10

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-1}&-\frac{1}{3\times 2-1}\\-\frac{1}{3\times 2-1}&\frac{3}{3\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 15-\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 15+\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)

คูณเมทริกซ์

\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

u=4,z=3

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ u และ z

3u+z=15,u+2z=10

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

3u+z=15,3u+3\times 2z=3\times 10

เพื่อทำให้ 3u และ u เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

3u+z=15,3u+6z=30

ทำให้ง่ายขึ้น

3u-3u+z-6z=15-30